Що таке друга похідна від (f * g) (x), якщо f і g такі функції, що f '(x) = g (x) і g' (x) = f (x)?

Відповідь:

# (4f * g) (x) #

Пояснення:

Дозволяє #P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) #

Потім за допомогою правила продукту:

#P '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x) #.

Використовуючи умову, поставлену в питанні, отримуємо:

#P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 #

Тепер за допомогою правил потужності та ланцюга:

#P '' (x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x) #.

Знову застосовуючи особливу умову цього питання, ми пишемо:

#P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 (f * g) (x) #

Відповідь:

Ще одна відповідь на випадок # f * g # означає композицію # f # і # g #

Пояснення:

Ми хочемо знайти другу похідну від # (f * g) (x) = f (g (x)) #

Ми диференціюємо один раз, використовуючи правило ланцюга.

# d / dxf (g (x)) = f '(g (x)) g' (x) = f '(g (x)) f (x) #

Потім ми знову диференціюємо, використовуючи правила ланцюжка продуктів

# d / dxf '(g (x)) f (x) = f' '(g (x)) g' (x) f (x) + f '(x) f' (g (x)) #

# = f '' (g (x)) f (x) ^ 2 + g (x) f '(g (x)) #