У чому сенс невизначеної форми? А чи можливо список всіх невизначених форм?

Перш за все, немає невизначених чисел.

Є цифри і є описи, які звучать так, ніби вони могли б описати число, але вони цього не роблять.

"Кількість # x # що робить # x + 3 = x-5 #"є такий опис. Як є" Номер #0/0#.'

Найкраще уникати висловлювання (і мислення), що "#0/0# є невизначеним числом ".

У контексті лімітів:

При оцінці межі функції «побудованої» деякою алгебраїчною комбінацією функцій ми використовуємо властивості меж.

Ось деякі з них. Зверніть увагу на умову, вказану на початку.

Якщо #lim_ (xrarra) f (x) # існує і #lim_ (xrarra) g (x) # існує, потім

#lim_ (xrarra) (f (x) + g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) (f (x) -g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) - lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) (f (x) g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) f (x) / g (x) = (lim_ (xrarra)) f (x)) / (lim_ (xrarra) g (x)) # за умови, що #lim_ (xrarra) g (x)! = 0 #

Також зверніть увагу, що ми використовуємо позначення: #lim_ (xrarra) f (x) = оо # щоб вказати, що межа не існує, але ми пояснюємо причину (як #xrarra, #f (x) зростає без обмеження)

Якщо один (або обидва) меж #lim_ (xrarra) f (x) # і #lim_ (xrarra) g (x) # не існує, тоді форма, яку ми отримуємо від граничних властивостей, може бути невизначеною. Хоча це не обов'язково є невизначеним.

Приклад 1:

#f (x) = 2x + 3 #, і #g (x) = x ^ 2 + x #, і # a = 2 #

#lim_ (xrarr2) f (x) = 7 # і #lim_ (xrarr2) g (x) = 6 #.

Значення ліміту:

#lim_ (xrarr2) (f (x) + g (x)) # визначається формою суми:

#lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) = 7 + 6 #

Приклад 2:

#f (x) = x + 3 + 1 / x ^ 2 #, і #g (x) = x ^ 2 + 7 + 1 / x ^ 2 #, і # a = 0 #

#lim_ (xrarr0) f (x) = оо # і #lim_ (xrarr0) g (x) = оо #.

Незважаючи на те, що не існує жодного обмеження, питання про межу:

#lim_ (xrarr0) (f (x) + g (x)) # визначається формою суми:

#lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) = oo + oo = oo #

Нотація виглядає так, ніби ми говоримо, що ми не говоримо. Ми не говоримо, що нескінченність - це число, яке ми можемо додати до себе, щоб отримати нескінченність.

Ми говоримо:

ліміт як # x # підходи #0# Суми цих двох функцій не існує, тому що як #x rarr 0 #, обидва #f (x) # і #g (x) # збільшуються без обмеження, тому сума цих функцій також зростає без обмеження.

Приклад 3: Для тієї ж налаштування, як і в прикладі 2, розгляньте ліміт різниці замість суми:

Якщо #f (x) # і #g (x) # зростають без обмеження #x rarr 0 #, ми можемо зробити висновок, що сума також зростає без зв'язку. Проте не можна зробити висновку про різницю.

#lim_ (xrarr0) (f (x) -g (x)) # НЕ визначається формою різниці:

#lim_ (xrarra) f (x) - lim_ (xrarra) g (x) = oo - oo = "?" #

Для # f-g # ми зрештою отримаємо # - 4#, Крім #g - f # ми отримуємо #+4#

До невизначених форм лімітів належать:

#0/0#, # oo / oo #, # oo-oo #, # 0 * oo #, #0^0#, #oo ^ 0 #, # 1 ^ oo #

(Останній здивував мене, поки я не пригадав це

#lim_ (xrarroo) (1 + 1 / x) ^ x = lim_ (xrarr0) (1 + x) ^ (1 / x) = e #)

Форма # L / 0 # с #L! = 0 # можливо, "напівдетермінований". Ми знаємо, що обмеження не існує, і що воно виходить з ладу через деяке збільшення або зменшення АБО без пов'язаного поведінки, але ми не можемо сказати, що.