Що таке похідна від y = (sinx) ^ x?

Відповідь:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Пояснення:

Використовують логарифмічну диференціацію.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Використовуйте властивості # ln #)

Диференціювати неявно: (Використовувати правило продукту і ланцюгову рулетку)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Отже, ми маємо:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Вирішіть на # dy / dx # шляхом множення на #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Відповідь:

# d / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Пояснення:

Найпростіший спосіб переглядати це:

# (sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (xln (sinx)) #

Взявши похідну, це дає:

# d / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xln (sinx)) #

# = (ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Тепер треба відзначити, що якщо # (sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # не визначено.

Однак, коли ми аналізуємо поведінку функції навколо # x #'s для яких це справедливо, ми виявляємо, що функція поводиться досить добре для цього, тому що, якщо:

# (sinx) ^ x # наближається до 0

потім:

#ln ((sinx) ^ x) # підійде # -оо #

тому:

# e ^ (ln ((sinx) ^ x)) # також наблизиться до 0

Крім того, відзначимо, що якщо #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # буде комплексне число; однак, всі алгебри і обчислення, які ми використовували, працюють і в складній площині, так що це не проблема.

Відповідь:

Загалом …

Пояснення:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #