Яке значення має? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Відповідь:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Пояснення:

Ми прагнемо:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

І чисельник, і знаменник 2 #rarr 0 # як #x rarr 0 #. таким чином, межа # L # (якщо вона існує) має невизначену форму #0/0#, і, отже, ми можемо застосувати правило L'Hôpital, щоб отримати:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Тепер, використовуючи фундаментальну теорему обчислення:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

І,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

І так:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xкоз (x ^ 2)) #

Знову ж таки, це має невизначену форму #0/0#, і, отже, ми можемо знову застосувати правило L'Hôpital, щоб отримати:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Які, ми можемо оцінити:

# L = (0) / (2-0) = 0 #