На яких інтервалах наступне рівняння увігнуте, увігнуте вниз і де його точка перегину є (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Відповідь:

• якщо # 0 <x <e ^ (- 15/56) # потім # f # є увігнуті вниз;
• якщо #x> e ^ (- 15/56) # потім # f # є увігнуті;
• # x = e ^ (- 15/56) # є (падіння) точки перегину

Пояснення:

Проаналізувати увігнутість і точки перегину двічі диференційованої функції # f #, ми можемо вивчити позитивність другої похідної. Насправді, якщо # x_0 # є точкою в області # f #, потім:

• якщо #f '' (x_0)> 0 #, потім # f # є увігнуті в околицях # x_0 #;
• якщо #f '' (x_0) <0 #, потім # f # є увігнуті вниз в околицях # x_0 #;
• якщо #f '' (x_0) = 0 # і знак #f '' # на досить малому правому сусідстві # x_0 # є протилежним знаку #f '' # на досить малому лівому околиці # x_0 #, потім # x = x_0 # називається точка перегину з # f #.

У конкретному випадку #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, ми маємо функцію, домен якої повинен бути обмежений до позитивних чисел #RR ^ + #.

Першою похідною є

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Другим похідним є

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56 ln (x) +15 #

Давайте вивчимо позитивність #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 якщо не було 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 крім x> e ^ (- 15/56) #

Отже, враховуючи, що домен є #RR ^ + #, ми отримуємо це

• якщо # 0 <x <e ^ (- 15/56) # потім #f '' (x) <0 # і # f # є увігнуті вниз;
• якщо #x> e ^ (- 15/56) # потім #f '' (x)> 0 # і # f # є увігнуті;
• якщо # x = e ^ (- 15/56) # потім #f '' (x) = 0 #. Враховуючи, що ліворуч від цієї точки #f '' # негативний, а справа позитивний, ми робимо висновок # x = e ^ (- 15/56) # є (падіння) точки перегину