Як використовувати перший похідний тест для визначення локального екстремуму y = sin x cos x?

Відповідь:

Екстремуми для # y = sin (x) cos (x) # є

# x = pi / 4 + npi / 2 #

с # n # відносне ціле число

Пояснення:

Будьте #f (x) # функція, що представляє варіацію # y # з repsect до # x #.

Будьте #f '(x) # похідна від #f (x) #.

#f '(a) # - нахил #f (x) # крива в # x = a # точка.

Коли нахил позитивний, крива збільшується.

Коли нахил є негативним, крива зменшується.

Коли нахил є нульовим, крива залишається на тому ж значенні.

Коли крива досягне екстремуму, вона перестане збільшуватися / зменшуватися і починати зменшуватися / збільшуватися. Іншими словами, нахил переходить від позитивного до негативного чи негативного до позитивного проходження по нульовому значенню.

Тому, якщо ви шукаєте екстремуми функцій, ви повинні шукати його нульові значення.

N.B. Існує ситуація, коли похідна є нульовою, але крива не досягає екстремуму: вона називається точкою перегину. крива на мить перестане збільшуватися / зменшуватися, а потім продовжувати збільшуватися / зменшуватися. Таким чином, ви також повинні перевірити, чи змінюється знак нахилу навколо його нульового значення.

Приклад: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / dx #

# = cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Тепер, коли ми маємо формулу для #f '(x) #, ми будемо шукати його нульові значення:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Рішення є # pi / 4 + npi / 2 # с # n # відносне ціле число.

Відповідь:

Навіть якщо ми плануємо використовувати перший похідний тест, варто зауважити, що #y = 1/2 sin (2x) #.

Пояснення:

Зробивши це спостереження, нам дійсно не потрібно обчислення, щоб знайти екстремуми.

Ми можемо покладатися на наші знання тригонометрії та графіки синусоїдальних функцій

Максимальне значення (1/2) відбудеться, коли # 2x = pi / 2 + 2pik # або коли #x = pi / 4 + pik # для # k # ціле число.

Мінімум відбувається на #x = 3pi / 4 + pik # для # k # ціле число.

Ми можемо використовувати похідну, але нам її не потрібно.

Використання похідних

Переписавши # y #, ми можемо швидко побачити це #y '= cos (2x) #

Отже, критичні числа для # y # є # 2x = pi / 2 + 2pik # і # 2x = (3pi) / 2 + 2пік #, (коли косинус є #0#) або

# x = pi / 4 + pik # і # x = (3pi) / 4 + пік #

Перевірка знака #y '= cos (2x) #, ми знайдемо максимальні значення при першому наборі критичних чисел і мінімальних значеннях у другому.