Як ви знайдете перші три члени серії Маклоріна для f (t) = (e ^ t - 1) / t, використовуючи серію Маклорена e ^ x?

Ми знаємо, що серія Маклорена # e ^ x # є

#sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) #

Ми також можемо вивести цю серію за допомогою розширення Маклорена #f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) # і те, що всі похідні Росії # e ^ x # ще # e ^ x # і # e ^ 0 = 1 #.

Тепер, просто замініть вищенаведені серії на

# (e ^ x-1) / x #

# = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x #

# = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x #

# = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / x #

# = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) #

Якщо ви хочете, щоб індекс почався # i = 0 #, просто заміни # n = i + 1 #:

# = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1)!) #

Тепер просто оцініть перші три терміни

# ~~ 1 + x / 2 + x ^ 2/6 #