Як розширити в серії Маклоріна це? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

Відповідь:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n +1) ^ 2 #

Візуальний: перевірте цей графік

Пояснення:

Ми чітко не можемо оцінити цей інтеграл, оскільки він використовує будь-яку з регулярних методів інтеграції, які ми дізналися. Однак, оскільки він є певним інтегралом, ми можемо використовувати серію MacLaurin і робити те, що називається терміном терміном інтеграції.

Потрібно знайти серію MacLaurin. Оскільки ми не хочемо знаходити n-й похідної цієї функції, нам потрібно буде спробувати і вписати її в одну з серій MacLaurin, яку ми вже знаємо.

По-перше, нам не подобається # log #; ми хочемо зробити це # ln #. Для цього можна просто використати зміну базової формули:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Тому ми маємо:

# int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt #

Чому ми це робимо? Ну, тепер помітьте це # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Чому це так особливо? Добре, # 1 / (1-x) # є однією з найпоширеніших серій MacLaurin:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0)

…за всіх # x # на #(-1, 1#

Таким чином, ми можемо використати це відношення на нашу користь і замінити #ln (1-t) # с # int-1 / (1-t) dt #, що дозволяє замінити це # ln # термін з серією MacLaurin. Покласти це разом дає:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Оцінка інтеграла:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Скасування видалення # t # термін у знаменнику:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

А тепер ми беремо певний інтеграл, з яким почали проблему:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Примітка: Зверніть увагу на те, як зараз нам не потрібно турбуватися про поділ на нуль цієї проблеми, що є проблемою, яку ми мали б у початковому інтегранді через # t # термін у знаменнику. Оскільки це було скасовано на попередньому етапі, це показує, що розрив є знімним, що добре працює для нас.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # оцінюється з #0# до # x #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Переконайтеся, що ви розумієте, що ця серія хороша лише на інтервалі #(1, 1#, так як серія MacLaurin, яку ми використовували вище, є лише конвергентною на цьому інтервалі. Перегляньте цей графік, щоб отримати краще уявлення про те, як це виглядає.

Сподіваюся, що допомогла:)