Що таке серія Тейлора f (x) = arctan (x)?

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Давайте розглянемо деякі деталі.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Пам'ятайте, що геометричні силові ряди

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

шляхом заміни # x # від # -x ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Тому, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Інтегруючи, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

шляхом введення інтегрального знака всередині підсумовування, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

за владою, # = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

З #f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

Отже, #f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Що таке розширення Тейлора e ^ (- 2x) з центром при x = 0?

E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4. Випадок розширення ряду Тейлора близько 0 називається серією Маклорена. Загальною формулою для серії Маклоріна є: f (x) = sum_ (n = 0) ^ o (0) / (n!) X ^ n Щоб розробити серію для нашої функції, можна почати з функції для e ^ x, а потім використовуйте це, щоб з'ясувати формулу для e ^ (- 2x). Для того, щоб побудувати ряд Маклорена, необхідно з'ясувати n-ту похідну e ^ x. Якщо взяти декілька похідних, то можна досить швидко побачити закономірність: f (x) = e ^ x f '(x) = e ^ x f' '(x) = e ^ x Насправді, n-я похі

Як довести, що серія сходяться?

Звертається за допомогою тесту прямого порівняння. Ми можемо використовувати тест прямого порівняння, наскільки ми маємо сума_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2), IE, серія починається в одному. Щоб скористатися тестом прямого порівняння, ми повинні довести, що a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) позитивний на [1, oo). Спочатку зауважимо, що на інтервалі [1, оо), cos (1 / k) є позитивним. Для значень x= 1, 1 / k

Що таке правило Тейлора щодо рівноважної реальної процентної ставки?

Правило Тейлора опосередковано включає рівноважну реальну процентну ставку, визначаючи цільову номінальну ставку відсотка. Правило Тейлора було розроблено економістом Стенфордським Джоном Тейлором, спочатку описуючи, а потім рекомендуючи цільову номінальну процентну ставку для ставки федеральних фондів (або для будь-якої іншої цільової ставки, обраної центральним банком). Цільовий коефіцієнт = Нейтральна ставка + 0,5 × (GDPe - GDPt) + 0,5 × (Тобто - It) Де, Цільова ставка - це короткострокова процентна ставка, яку центральний банк повинен орієнтувати; Нейтральна ставка - це короткострокова процентна ставка, яка п