Що таке розширення Тейлора e ^ (- 2x) з центром при x = 0?

Відповідь:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Пояснення:

Випадок серії Тейлор розширився #0# називається серією Маклорена. Загальна формула серії Maclaurin:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

Щоб розробити серію для нашої функції, можна почати з функції для # e ^ x # а потім скористайтеся цим, щоб з'ясувати формулу #e ^ (- 2x) #.

Для того, щоб побудувати ряд Маклорена, нам необхідно з'ясувати n-ту похідну # e ^ x #. Якщо взяти кілька похідних, ми можемо досить швидко побачити шаблон:

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f '' (x) = e ^ x #

Насправді, n-й похідна Росії # e ^ x # просто # e ^ x #. Ми можемо включити це в формулу Маклорена:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (n!) x ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) … #

Тепер, коли у нас є серія Тейлора # e ^ x #, ми можемо просто замінити всі # x #з # -2x # для отримання серії #e ^ (- 2x) #:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

який є серією, яку ми шукали.