Як довести, що серія сходяться?

Відповідь:

Звертається за допомогою тесту прямого порівняння.

Пояснення:

Ми можемо використовувати тест прямого порівняння, наскільки ми маємо

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, серія починається в одному.

Щоб скористатися тестом прямого порівняння, ми повинні довести це # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # позитивний # 1, oo) #.

Спочатку зверніть увагу, що на інтервалі # 1, оо), cos (1 / k) # позитивний. Для значень #x # cosx # знаходиться в першому квадранті (і тому позитивний). Ну, для #k> = 1, 1 / k тому, #cos (1 / k) # дійсно позитивний.

Крім того, можна сказати #cos (1 / k) <= 1 #, as #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Потім можна визначити нову послідовність

# b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # за всіх # k. #

Добре, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Ми знаємо, що це збігається # p- #тест серії, він знаходиться у формі # sum1 / k ^ p # де # p = 2> 1 #.

Тоді, оскільки більша серія збігається, так і повинні бути менші ряди.

Відповідь:

Він збігається за допомогою тесту прямого порівняння (докладніше див. Нижче).

Пояснення:

Визнаємо, що діапазон косинуса дорівнює -1,1. Перевірте графік #cos (1 / x) #:

графік {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Як бачите, максимум Значення цього досягти буде 1. Оскільки ми просто намагаємося довести збіжність тут, давайте встановимо чисельник на 1, залишивши:

# sum1 / (9k ^ 2) #

Тепер це стає дуже простою проблемою прямого порівняння. Нагадаємо, що робить тест прямого порівняння:

Розглянемо довільні ряди # a_n # (ми не знаємо, якщо вона збігається / розходиться), і ряд, для якого ми знаємо конвергенцію / дивергенцію, # b_n #:

Якщо #b_n> a_n # і # b_n # сходяться, то # a_n # також сходиться.

Якщо #b_n <a_n # і # b_n # потім розходиться # a_n # також розходиться.

Ми можемо порівняти цю функцію з #b_n = 1 / k ^ 2 #. Ми можемо це зробити, тому що ми знаємо, що вона збігається (через p-тест).

Отже, з # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, і # 1 / k ^ 2 # сходиться, можна сказати, що ряди сходяться

Але, чекаємо, ми лише довели, що ця серія збігається при чисельнику = 1. Що ж до всіх інших значень #cos (1 / k) # може взяти? Ну, пам'ятайте, що 1 є максимум значення, яке може взяти чисельник. Отже, оскільки ми довели, що це збігається, ми опосередковано довели, що ця серія збігається для будь-якого значення в чисельнику.

Сподіваюся, що допомогла:)