Відповідь:
Пояснення:
Графік функції f (x) = (x + 2) (x + 6) показаний нижче. Яке твердження про функцію вірно? Функція позитивна для всіх дійсних значень x, де x> –4. Функція є негативною для всіх дійсних значень x, де –6 <x <–2.
Функція є негативною для всіх дійсних значень x, де –6 <x <–2.
Як довести, що серія сходяться?
Звертається за допомогою тесту прямого порівняння. Ми можемо використовувати тест прямого порівняння, наскільки ми маємо сума_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2), IE, серія починається в одному. Щоб скористатися тестом прямого порівняння, ми повинні довести, що a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) позитивний на [1, oo). Спочатку зауважимо, що на інтервалі [1, оо), cos (1 / k) є позитивним. Для значень x F (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} Розглянемо деякі деталі. f (x) = arctanx f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} Пам'ятайте, що геометрична потужність ряду 1 / {1-x} = sum_ { n = 0} ^ infty x ^ n шляхом заміни x на -x ^ 2, Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} Отже, f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} Інтегруючи, f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx, поставивши інтегральний знак всередині підсумовування, = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ nx ^ {2n} dx по правилу потужності, = sumЩо таке серія Тейлора f (x) = arctan (x)?
