Доведіть, що Cot 4x (sin 5 x + sin 3 x) = Cot x (sin 5 x - sin 3 x)?

#sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2) #

#sin a - sin b = 2 sin ((a-b) / 2) cos ((a + b) / 2) #

Права сторона:

#cot x (sin 5x - sin 3x) = cot x cdot 2 sin ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) #

# = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x #

Ліва сторона:

#cot (4x) (sin 5x + sin 3x) = cot (4x) cdot 2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2) #

# = {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sin 4x cos x = 2 cos x cos 4 x #

Вони рівні #quad sqrt #

Відповідь:

Формула фактора (ідентичність "Сума до продукту" та "Продукт-сума")

Пояснення:

Для цього питання можна скористатися Сума до продукту і Продукт-сума ідентичності.

Я ледачий, так ось картина ідентичностей.

Вищенаведена формула до суми може бути отримана за допомогою складових кутових тотожностей.

Використання заміни #alpha = a + b # і #beta = a - b #, ми можемо отримати наступні формули до суми.

Отже, тепер, коли ми це розібрали, давайте застосуємо наші формули.

#cot (4x) (sin (5x) + sin (3x)) = cos (4x) / sin (4x) (2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x - 3x) / 2)) = cos (4x) / sin (4x) (2sin (4x) cos (x)) = 2cos (4x) cos (x) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = cot (x) (sin (4x + x) - sin (4x - x)) = cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) #

Крім того, ви можете також застосувати формулу суми до продукту з правого боку:

#cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) = cos (x) / sin (x) (2 cos ((5x + 3x) / 2) sin ((5x - 3x) / 2)) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = 2cos (4x) sin (x) = LHS.

# QED #