Доведіть, що cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx = cot (x / 8) -cotx?

# LHS = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx + cotx-cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + колір (синій) 1 / sinx + cosx / sinx -cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + колір (синій) (1 + cosx) / sinx -cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + колір (синій) (2cos ^ 2 (x / 2)) / (2sin (x / 2) cos (x / 2)) - cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + колір (синій) (cos (x / 2) / sin (x / 2)) - cotx #

# = cosec (x / 4) + колір (зелений) (cosec (x / 2) + ліжечко (x / 2)) - cotx #

#color (пурпуровий) "Аналогічно, як і раніше" #

# = cosec (x / 4) + кольорове (зелене) ліжечко (x / 4) -cotx #

# = cot (x / 8) -cotx = RHS #

Відповідь:

Прохання пройти через Доказ дано в Пояснення.

Пояснення:

Налаштування # x = 8y #, ми маємо довести це,

# cosec2y + cosec4y + cosec8y = coty-cot8y #.

Зауважте, # cosec8y + cot8y = 1 / (sin8y) + (cos8y) / (sin8y) #, # = (1 + cos8y) / (sin8y) #, # = (2cos ^ 2 4y) / (2sin4ycos4y) #, # = (cos4y) / (sin4y) #.

# "Таким чином," cosec8y + co8y = cot4y = cot (1/2 * 8y) …….. (зірка) #.

Додавання, # cosec4y #, # cosec4y + (cosec8y + co8y) = cosec4y + cot4y #,

# = cot (1/2 * 4y) ……… тому, що (зірка) #.

#:. cosec4y + cosec8y + co8y = cot2y #.

Повторне додавання # cosec2y # і повторне використання # (зірка) #, # cosec2y + (cosec4y + cosec8y + co8y) = cosec2y + cot2y #, # = ліжечко (1/2 * 2y) #.

#:. cosec2y + cosec4y + cosec8y + co8y = coty, тобто #

# cosec2y + cosec4y + cosec8y = coty-cot8y #, за бажанням!

Відповідь:

Інший підхід, який я, здається, навчився раніше шановний пан dk_ch.

Пояснення:

# RHS = дитяче ліжко (x / 8) -cotx #

# = cos (x / 8) / sin (x / 8) -cosx / sinx #

# = (sinx * cos (x / 8) -cosx * sin (x / 8)) / (sinx * sin (x / 8)) #

# = sin (x-x / 8) / (sinx * sin (x / 8)) = sin ((7x) / 8) / (sinx * sin (x / 8)) #

# = (2sin ((7x) / 8) * cos (x / 8)) / (2 * sin (x / 8) * cos (x / 8) * sinx) #

# = (sinx + sin ((3x) / 4)) / (sinx * sin (x / 4)) = скасувати (sinx) / (скасувати (sinx) * sin (x / 4)) + (2sin ((3x) / 4) * cos (x / 4)) / (sinx * 2 * sin (x / 4) * cos (x / 4)) #

# = cosec (x / 4) + (sinx + sin (x / 2)) / (sinx * sin (x / 2)) = cosecx + cosec (x / 2) + coesc (x / 4) = LHS #