Відповідь:
Вона збігається абсолютно.
Пояснення:
Використовуйте тест для абсолютної конвергенції. Якщо взяти абсолютне значення термінів, то отримаємо ряд
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Це геометрична серія загального співвідношення #1/4#. При цьому він сходиться. З тих пір # | a_n | # сходиться # a_n # збігається абсолютно.
Сподіваюся, це допоможе!
Відповідь:
# "Це проста геометрична серія, і вона абсолютно збігається з" # # # "сума" = 16/5 = 3.2. "#
Пояснення:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", за умови, що | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-а) #
# "Візьміть" a = -1/4 ", тоді у нас є" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Тепер наша серія в чотири рази більше, ніж перший термін 4".
# "Так наша серія" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Відповідь:
Геометрична серія збігається абсолютно, с
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Пояснення:
Ця серія, безумовно, є змінною серією; однак вона також виглядає геометрично.
Якщо ми можемо визначити загальний коефіцієнт, спільний для всіх термінів, серія буде у формі
#sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n #
Де # a # є першим терміном і # r # є загальним співвідношенням.
Потрібно буде знайти підсумок, використовуючи вказаний вище формат.
Розділіть кожен член на термін перед ним, щоб визначити загальний коефіцієнт # r #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Таким чином, ця серія є геометричною, з загальним співвідношенням # r = -1 / 4 #і перший термін # a = 4. #
Ми можемо написати серію як
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Нагадаємо, що геометричні ряди #sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n # сходиться до # a / (1-r) # якщо # | r | <1 #. Отже, якщо вона збігається, ми можемо також знайти її точне значення.
Ось, # | r | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, так що ряд збігається:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Тепер давайте визначимося, чи збігається вона абсолютно.
# a_n = 4 (-1/4) ^ n #
Зняти змінний негативний термін:
# a_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
Візьміть абсолютне значення, що призведе до зникнення змінного негативного терміна:
# | a_n | = 4 (1/4) ^ n #
Таким чином, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Ми бачимо # | r | = 1/4 <1 #, так що ми досі маємо збіжність:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
Серія абсолютно збігається, с
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
