Як вибрати два числа, для яких сума їх квадратних коренів мінімальна, знаючи, що твір двох чисел є a?

Відповідь:

# x = y = sqrt (a) #

Пояснення:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "мінімальний" #

# "Ми могли б працювати з множником Лагранжа L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Виведення результатів:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(після множення на x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Тепер нам доведеться перевірити x = 0."

# "Це неможливо тоді, коли x * y = 0." #

# "Таким чином, у нас є унікальне рішення" #

# x = y = sqrt (a) #

Відповідь:

Я постараюся пройти через спосіб рішення нижче.

Пояснення:

Що ми шукаємо?

Дві цифри. Дайте їм імена, # x # і # y #.

Перечитайте запитання.

Ми хочемо, щоб сума квадратних коренів була мінімальною.

Це говорить нам про дві речі

(1) обидва числа не є негативними (щоб уникнути уявлень)

(2) Нас цікавить цінність # sqrtx + sqrty #

Перечитайте запитання.

Нам також сказали, що продукт # x # і # y # є # a #.

Хто вибирає # a #?

Загалом, якщо вправа говорить про щось # a # або # b # або # c #, ми приймаємо їх як константи, надані іншим.

Таким чином, нам може бути сказано "продукт" # x # і # y # є #11#'

або "продукт" # x # і # y # є #124#'.

Ми повинні вирішити всі ці питання одразу, сказавши # xy = a # для деякої постійної # a #.

Отже, ми хочемо зробити # sqrtx + sqrty # якомога менше зберігається # xy = a # для деякої постійної # a #.

Це виглядає як проблема оптимізації, і це одна. Тому я хочу, щоб функція однієї змінної мінімізувалася.

# sqrtx + sqrty # має дві змінні, # x # і # y #

# xy = a # також має дві змінні, # x # і # y # (пам'ятайте # a # є константою)

Тому #y = a / x #

Тепер ми хочемо мінімізувати:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Знайдіть похідну, потім критичне число (и) і перевірте критичний номер (и). Завершити пошук # y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Критичний # sqrta #

#f '(x) <0 # для #x <sqrta # і #f '(x)> 0 # для #x> sqrta #, тому #f (sqrta) # є мінімальним.

#x = sqrta # і #y = a / x = sqrta #

Відповідь:

# 2 root (4) (a) #

Пояснення:

Ми це знаємо #x_i> 0 # ми маємо

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ {frac {1} {n}} frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

потім

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # потім

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

але # x_1x_2 = a # потім

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 корінь (4) (a) #