Що таке антидерівативна (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

Відповідь:

Відповідь є # x + arctan (x) #

Пояснення:

Спочатку зверніть увагу, що: # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # можна записати як # (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) #

# => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = int 1 dx + int 1 / (1+ x ^ 2) dx = x + int 1 / (1 + x ^ 2) dx = #

Похідна Росії #arctan (x) # є # 1 / (1 + x ^ 2) #.

Звідси випливає, що антидереватив # 1 / (1 + x ^ 2) # є #arctan (x) #

І саме на цій основі ми можемо написати: #int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) #

Отже, #int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) + c #

Отже, антидереватив # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # є #color (синій) (x + arctan (x)) #

# "NB:" #

Не плутайте # antiderivative # з невизначений інтеграл

Антидериватив не передбачає постійної. Фактично знаходження антидеревативного не означає intergrate!

Що таке антидерівативна функція відстані?

Функція відстані: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Давайте маніпулювати цим. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Оскільки антидереватив є в основному невизначений інтеграл, це стає нескінченною сумою нескінченно малих dx: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx яка є формулою довжини дуги будь-якої функції, яку можна керувати після маніпуляції.

Що таке антидерівативна константа? + Приклад

Мені здається простіше спочатку подумати про це поглядом на похідну. Я маю на увазі: що, після диференціації, призведе до константи? Звичайно, змінна першого ступеня. Наприклад, якщо ваша диференціація призвела до f '(x) = 5, то очевидно, що антидереватив є F (x) = 5x Отже, антидериватив константи - це крапка змінної (чи то x, y, і т.д.) .) Ми могли б поставити це так, математично: intcdx <=> cx Зауважимо, що c мутілінгує 1 в інтегралі: intcolor (зелений) (1) * cdx <=> cx Це означає, що перша змінна ступеня диференційована: f (x ) = x ^ колір (зелений) (1), потім f '(x) = колір (зелений) 1 * x ^ (1-1) =

Що таке антидерівативна для ln x?

Intlnxdx = xlnx-x + C Інтеграл (antiderivative) lnx є цікавим, тому що процес його знаходження не є тим, що можна очікувати. Ми будемо використовувати інтеграцію за частинами, щоб знайти intlnxdx: intudv = uv-intvdu Де u та v є функціями x. Тут ми покладемо: u = lnx -> (du) / dx = 1 / x-> du = 1 / xdx і dv = dx-> intdv = intdx-> v = x Внесення необхідних замін у формулу інтеграції за частинами, ми маємо: intlnxdx = (lnx) (x) -int (x) (1 / xdx) -> (lnx) (x) -intcancel (x) (1 / cancelxdx) = xlnx-int1dx = xlnx-x + C- > (не забувайте про постійність інтеграції!)