Як ви знайдете ліміт lim_ (h-> 0) (sqrt (1 + h) -1) / h?

Відповідь:

# frac {1} {2} #

Пояснення:

Межа являє собою невизначену форму #0/0#. У цьому випадку, ви можете використовувати теорему дель-госпіталі, що говорить

flic {f (x)} {g (x)} = lr frac {f '(x)} {g' (x)} #

Похідною чисельника є

# frac {1} {2sqrt (1 + h)} #

Поки похідна знаменника просто #1#.

Тому, # lim_ {x з 0} frac {f '(x)} {g' (x)} = lim_ {x 0} frac {frac {1} {2sqrt (1 + h)} } {1} = lim_ {x 0} frac {1} {2sqrt (1 + h)} #

І тому просто

# frac {1} {2sqrt (1)} = frac {1} {2} #

Відповідь:

# = 1/2 #

Пояснення:

Якщо ви не знаєте, що правило лічильників …

Використовувати:

# (1 + x) ^ n = 1 + nx + (n (n-1)) / (2!) X ^ 2 + … #

# => (1 + h) ^ (1/2) = 1 + 1 / 2h - 1/8 h ^ 2 + … #

# => lim_ (h до 0) ((1 + 1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) - 1) / h #

# => lim_ (h до 0) (1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) / h #

# => lim_ (h до 0) (1/2 - 1/8 год + …) #

# = 1/2 #