Як інтегрувати sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Відповідь:

#int, sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2кош ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Пояснення:

Так як легше мати справу тільки з одним # x # під квадратним коренем завершуємо квадрат:

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int, sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Тепер нам потрібно зробити тригонометричне заміщення. Я збираюся використовувати гіперболічні тригерні функції (тому що secant інтеграл зазвичай не дуже приємно). Ми хочемо використовувати таку ідентифікацію:

# cosh ^ 2 (тета) -1 = синх ^ 2 (тета) #

Для цього ми хочемо # (x + 2) ^ 2 = 4кош ^ 2 (тета) #. Ми можемо вирішити # x # отримати потрібну заміну:

# x + 2 = 2кош (тета) #

# x = 2cosh (тета) -2 #

Для інтеграції по відношенню до # theta #, ми повинні помножити на похідну від # x # з повагою до # theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (тета) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int, sqrt ((2cosh (тета)) ^ 2-4) * 2sinh (тета)

# = 2in sqrt (4косх2 (тета) -4) * синьх (тета) d тета = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (тета) -1)) * sinh (тета)

# = 2 * sqrt (4) int, sqrt (cosh ^ 2 (тета) -1) * sinh (тета)

Тепер ми можемо використовувати ідентичність # cosh ^ 2 (тета) -1 = синх ^ 2 (тета) #:

# = 4in sqrt (sinh ^ 2 (тета)) * sinh (тета) d theta = 4in sinh ^ 2 (тета)

Тепер ми використовуємо ідентичність:

# sinh ^ 2 (тета) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Ми могли б зробити явну заміну u # 2кош (2тета) #, але очевидно, що відповідь #sinh (2theta) #:

# = sinh (2theta) -2theta + C #

Тепер нам потрібно скасувати заміну. Ми можемо вирішити # theta # отримати:

# theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Це дає:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2кош ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #