Як інтегрувати int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx, використовуючи тригонометричне заміщення?

Відповідь:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Пояснення:

Рішення трохи довго !!!

З даного #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Зверніть увагу на це # i = sqrt (-1) # уявне число

Відкладіть якийсь комплексний номер на деякий час і перейдіть до інтеграла

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

заповнивши квадрат і виконуючи певні групи:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Перша тригонометрична підстановка: ##

Гострий кут # w # з протилежною стороною # = e ^ x + 10 # і прилеглі сторони #=1# з гіпотенузою =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

Дозволяє # e ^ x + 10 = загост.

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

і потім

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

Інтеграл стає

#int 1 / sqrt (загар ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

з тригонометрії #sec w = 1 / cos w # і #tan w = sin w / cos w #

Інтеграл стає

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # і

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Друга тригонометрична підстановка:

Дозволяє # w = 2 tan ^ -1 z #

# dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

а також # z = tan (w / 2) #

Правий трикутник: Гострий кут # w / 2 # з протилежної сторони # = z #

Прилеглі сторони #=1# і гіпотенузи # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

З тригонометрії: посилаючись на формули половинного кута

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

рішення для #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Також використовується ідентифікація #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

випливає, що

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

інтеграл стає

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^) 2) / (1 + z ^ 2)) #

Спрощення інтегральних результатів до

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Заповнивши квадрат:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Тепер використовуйте формулу #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

Дозволяє # u = z + 1/10 # і # a = sqrt101 / 10 # і включаючи назад # i = sqrt (-1) #

Напишіть остаточну відповідь, використовуючи оригінальні змінні

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #