Інтеграція 1 / (1 + x ^ 3) dx?

Відповідь:

# 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Пояснення:

Почніть з факторизації знаменника:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Тепер ми можемо робити часткові дроби:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x) +1) #

Ми можемо знайти # A # за допомогою методу прикриття:

# A = 1 / ((текст (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Далі ми можемо помножити обидві сторони на знаменник LHS:

# 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3) #

Це дає такі рівняння:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1-> C = 2/3 #

Це означає, що ми можемо переписати оригінальний інтеграл:

#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Перший інтеграл можна виконати за допомогою явної заміни u, але досить ясно, що відповідь #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Ми можемо розділити залишився інтеграл на два:

(x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Причина обману з множенням і діленням на #2# полягає в тому, щоб полегшити знаменник лівої руки для використання u-підстановки.

Назвемо лівий інтеграл 1 і правий інтеграл 2

Інтеграл 1

(2x-1) / (x ^ 2-x + 1)

Оскільки ми вже підготували цей інтеграл для заміни, все, що нам потрібно зробити, є заміною # u = x ^ 2-x + 1 #і похідною є # 2x-1 #, тому ми розділяємо на те, щоб інтегруватися по відношенню до # u #:

#int (2x-1) / (скасування (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

Інтеграл 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1)

Ми хочемо отримати цей інтеграл у форму:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Для цього нам необхідно заповнити квадрат для знаменника:

# x ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# x ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + k #

# k = 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Ми хочемо ввести заміну u таким чином, щоб:

# (x-1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

# x-1/2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u + 1/2 #

Помножимо на похідну по відношенню до # u # інтегруватися до # u #:

# dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Заповнення оригінального інтеграла

Тепер, коли ми знаємо відповідь на Integral 1 та Integral 2, ми можемо повернути їх назад до вихідного виразу, щоб отримати остаточну відповідь:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)) + C = #

# = 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Відповідь:

# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #

Пояснення:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #