Як ви перевіряєте на збіжність для 1 / ((2n + 1)!)?

Відповідь:

У випадку, якщо ви мали на увазі "тест на збіжність" серії: #sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((2n + 1)!) #'

Відповідь: це #color (синій) "сходиться" #

Пояснення:

Щоб з'ясувати, ми можемо використовувати тест співвідношення.

Тобто, якщо # "U" _ "n" # є # n ^ "th" # термін цієї серії

Тоді, якщо, ми покажемо це #lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" +1) / "U" _n) <1 #

це означає, що ряд сходиться

З іншого - якщо #lim_ (nrarr + oo) abs (("U" _ ("n" +1)) / "U" _n)> 1 #

це означає, що серія розходиться

У нашому випадку

# "U" _n = 1 / ((2n + 1)!) #

#' '# і

# "U" _ ("n" +1) = 1 / (2 (n + 1) +1!) = 1 / (2n + 3!) #

Отже, # "U" _ ("n" +1) / "U" _n = 1 / ((2n + 3)!) / 1 / ((2n + 1)!) = ((2n + 1)!) / ((2n + 3)!) #

# "Зверніть увагу, що": #

# (2n + 3)! = (2n + 3) xx (2n + 2) xx (2n + 1)!

Так як: # 10! = 10xx9xx8!

Віднімаємо #1# кожен раз, щоб отримати наступний

Так у нас є, # "U" _ ("n" +1) / "U" _n = ((2n + 1)!) / ((2n + 3) (2n + 2) (2n + 1)!) = 1 / ((2n + 3) (2n + 2)) #

Далі ми перевіряємо, #lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" +1) / "U" _n) #

# = lim_ (nrarr + oo) abs (1 / ((2n + 3) (2n + 2))) = lim_ (nrarr + oo) 1 / ((4n ^ 2 + 10n + 6)) = 1 / (+ oo) = 0 "" # і #0# менше #1#

Отже, цілком безпечно зробити висновок, що серія #color (синій) "збігається"! #

Використовуйте Ratio Test, щоб знайти збіжність наступної серії?

Ряд розходиться, оскільки межа цього співвідношення становить> 1 lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3) (n + 1)) = 4/3> 1 Нехай a_n - n-й член цієї серії: a_n = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) Тоді a_ (n + 1) ) = ((2 (n + 1))!) / (3 ^ (n + 1) ((n + 1)!) ^ 2) = ((2n + 2)!) / (3 * 3 ^ n ( (n + 1)!) ^ 2) = ((2n)! (2n + 1) (2n + 2)) / (3 * 3 ^ n (n!) ^ 2 (n + 1) ^ 2) = ( (2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) * ((2n + 1) (2n + 2)) / (3 (n + 1) ^ 2) = a_n * ((2n + 1) 2 (n + 1)) / (3 (n + 1) ^ 2) a_ (n + 1) = a_n * (2 (2n + 1)) / (3 (n + 1)) a_ (n + 1) / a_n = (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) Беручи межа цього с

Як визначити збіжність або розбіжність послідовності an = ln (n ^ 2) / n?

Послідовність сходяться Щоб знайти, чи послідовність a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n збігається, ми спостерігаємо, що a_n має n-> oo. lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n Використовуючи правило l'Hôpital, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Оскільки lim_ (n-> oo) a_n є кінцевим значенням, послідовність сходиться.

Як ви перевіряєте на збіжність для суми (4 + abs (cosk)) / (k ^ 3) для k = 1 до нескінченності?

Серія абсолютно збігається. Спочатку відзначимо, що: (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 <= 5 / k ^ 3 для k = 1 ... oo і (4 + abs (cosk)) / k ^ 3> 0 для k = 1 ... о.О. Отже, якщо sum5 / k ^ 3 сходиться, то буде сума (4 + abs (cosk)) / k ^ 3, оскільки вона буде меншою, ніж нова (і позитивна). Це серія p з p = 3> 1. Тому ця серія абсолютно збігається: див. Http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html для отримання додаткової інформації.