Використовуйте Ratio Test, щоб знайти збіжність наступної серії?

Відповідь:

Серія розходиться, оскільки межа цього співвідношення становить> 1

#lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) = 4/3> 1 #

Пояснення:

Дозволяє # a_n # бути n-м терміном цієї серії:

#a_n = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) #

Потім

#a_ (n + 1) = ((2 (n + 1))!) / (3 ^ (n + 1) ((n + 1)!) ^ 2) #

# = ((2n + 2)!) / (3 * 3 ^ n ((n + 1)!) ^ 2) #

# = ((2n)! (2n + 1) (2n + 2)) / (3 * 3 ^ n (n!) ^ 2 (n + 1) ^ 2) #

# = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) * ((2n + 1) (2n + 2)) / (3 (n + 1) ^ 2) #

# = a_n * ((2n + 1) 2 (n + 1)) / (3 (n + 1) ^ 2) #

#a_ (n + 1) = a_n * (2 (2n + 1)) / (3 (n + 1)) #

#a_ (n + 1) / a_n = (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) #

Взяття межі цього співвідношення

#lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) = 4/3> 1 #

Таким чином, серія розходиться.