Використовуйте теорему Rational Zeros, щоб знайти можливі нулі наступної поліноміальної функції: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Відповідь:

Можливе раціональне нулі:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Пояснення:

Дано:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

За теоремою про раціональні нулі будь-які раціональні нулі #f (x) # виражаються у формі # p / q # для цілих чисел #p, q # с # p # дільник постійного терміну #-35# і # q # дільник коефіцієнта #33# провідного терміну.

Дільники #-35# є:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

Дільники #33# є:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Отже, можливі раціональні нулі:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

або в порядку збільшення розміру:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Зауважимо, що це лише раціональні можливості. Теорема про раціональні нулі не говорить про можливі ірраціональні або складні нулі.

Використовуючи Правило знаків Декарта, можна визначити, що цей кубік не має негативних нулів і #1# або #3# позитивні реальні нулі.

Таким чином, єдиними можливими раціональними нулями є:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

Намагаючись кожен по черзі, ми знаходимо:

#f (1/11) = 33 (колір (синій) (1/11)) ^ 3-245 (колір (синій) (1/11)) ^ 2 + 407 (колір (синій) (1/11)) -35 #

#color (білий) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (білий) (f (1/11)) = 0 #

Тому # x = 1/11 # є нулем і # 11x-1 # фактор:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

Для визначення залишкового квадратичного можна використовувати метод AC:

Знайти пару факторів #AC = 3 * 35 = 105 # з сумою # B = 22 #

Пара #15, 7# працює.

Використовуйте цю пару, щоб розділити середній термін, а потім коефіцієнт, групуючи:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

#color (білий) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

#color (білий) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Отже, інші два нулі:

# x = 7/3 "" # і # "" x = 5 #