Обчислення

Dy / dx = (ycos (xy)) / (1-xcos (xy)) Використовуючи неявну диференціацію, правило продукту та правило ланцюга, отримаємо d / dxy = d / dxsin (xy) => dy / dx = cos (xy) (d / dx (xy)) = cos (xy) [x (d / dxy) + y (d / dxx)] = cos (xy) (xdy / dx + y) = xcos (xy) dy / dx + ycos (xy) => dy / dx - xcos (xy) dy / dx = ycos (xy) => dy / dx (1-xcos (xy)) = ycos (xy):. dy / dx = (ycos (xy)) / (1-xcos (xy)) Докладніше »

Це дає нам імпульсне рівняння відносно швидкості ... Функція або рівняння для кінетичної енергії: bb (KE) = 1 / 2mv ^ 2 Приймаючи похідне відношення до швидкості (v), отримуємо: d / (dv) (1) / 2mv ^ 2) Візьміть константи, щоб отримати: = 1 / 2m * d / (dv) (v ^ 2) Тепер використовуйте правило влади, яке говорить, що d / dx (x ^ n) = nx ^ (n- 1) отримати: = 1 / 2m * 2v Спростити, щоб отримати: = mv Якщо ви вивчите фізику, ви повинні чітко бачити, що це рівняння для імпульсу, і стверджує, що: p = mv Докладніше »

(dv) / dt = (2pirh) / 3 ((dr) / dt) + (pir ^ 2) / 3 ((dh) / dt), якщо ви робите відповідні ставки, ви, ймовірно, диференціюєтеся відносно t або час: d / dt (v) = d / dt (pi / 3r ^ 2h) (dv) / dt = pi / 3d / dt (r ^ 2h) (dv) / dt = pi / 3 (d / dt ( r ^ 2) h + d / dt (h) r ^ 2) (dv) / dt = pi / 3 (2rd / dt (r) h + (dh) / dtr ^ 2) (dv) / dt = pi / 3 (2r ((dr) / dt) h + ((dh) / dt) r ^ 2) (dv) / dt = (2pirh) / 3 ((dr) / dt) + (pir ^ 2) / 3 ((dh) ) / dt) Докладніше »

Ну, коли я думаю про похідних по відношенню до часу я думаю про щось змінюється і коли напруга бере участь я думаю про конденсатори. Конденсатор - це пристрій, який може зберігати заряд Q, коли застосовується напруга V. Цей пристрій має характеристики (фізичні, геометричні), що описуються константою, що називається ємністю C. Взаємозв'язок між цими величинами: Q (t) = C * V (t) Якщо ви отримуєте по часу, ви отримуєте струм через конденсатор для змінна напруга: d / dtQ (t) = Cd / dtV (t) Де похідна від Q (t) - струм, тобто: i (t) = Cd / dtV (t) Це рівняння говорить вам, що коли напруга не змінюється через конденсатор, с Докладніше »

Dy / dx = x ^ (1 / x) ((1-lnx) / x ^ 2) У цих ситуаціях, коли функція підвищується до потужності функції, ми будемо використовувати логарифмічну диференціацію та неявну диференціацію таким чином: y = x ^ (1 / x) lny = ln (x ^ (1 / x)) З того, що ln (a ^ b) = blna: lny = lnx / x диференціювати (ліва сторона буде диференційована неявно): 1 / y * dy / dx = (1-lnx) / x ^ 2 Вирішіть для dy / dx: dy / dx = y ((1-lnx) / x ^ 2) Нагадуючи, що y = x ^ (1 / x): dy / dx = x ^ (1 / x) ((1-lnx) / x ^ 2) Докладніше »

Посилання на зображення ... Сподіваюся, що це допоможе .... Докладніше »

Dy / dx = -1/2 at (x, y) = (8, 1) По-перше, знайдемо dy / dx, використовуючи неявну диференціацію: d / dx (x ^ (2/3) + y ^ (2/3) ) = d / dx5 => 2 / 3x ^ (- 1/3) + 2 / 3y ^ (- 1/3) dy / dx = 0 => 2 / 3y ^ (- 1/3) dy / dx = - 2 / 3x ^ (- 1/3) => dy / dx = - (x / y) ^ (- 1/3) Тепер оцінюємо dy / dx у нашій заданій точці (x, y) = (8, 1) dy / dx | _ ((x, y) = (8,1)) = - (8/1) ^ (- 1/3) = -8 ^ (- 1/3) = -1 / 2 Докладніше »

1/2 (x / 2) '= 1/2 (x)' = 1/2 * 1 = 1/2 Докладніше »

Y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x Ви можете диференціювати цю функцію, використовуючи правила суми та потужності. Зверніть увагу, що ви можете переписати цю функцію як y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = [x (x + 1)] ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 y = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 Тепер правило суми говорить вам, що для функцій, які приймають вигляд y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x), ви може знайти похідну y шляхом додавання похідних цих індивідуальних функцій. колір (синій) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + ... У вашому випадку ви маєте y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2) + x ^ 2) y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / Докладніше »

Y = x ^ (e), тому y '= e * x ^ (e-1) Оскільки e є просто константою, ми можемо застосувати правило потужності для похідних, що говорить нам, що d / dx [x ^ n] = n * x ^ (n-1), де n - постійна. У цьому випадку y = x ^ (e), тому y '= e * x ^ (e-1) Докладніше »

Dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) Ми маємо: y = x ^ x Візьмемо природний журнал з обох сторін. ln (y) = ln (x ^ x) Використовуючи той факт, що log_a (b ^ c) = clog_a (b), => ln (y) = xln (x) Застосуйте d / dx з обох сторін. => d / dx (ln (y)) = d / dx (xln (x)) Правило ланцюга: Якщо f (x) = g (h (x)), то f '(x) = g' (h) (x)) * h '(x) Правило потужності: d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1), якщо n - постійна. Крім того, d / dx (lnx) = 1 / x Нарешті, правило продукту: Якщо f (x) = g (x) * h (x), то f '(x) = g' (x) * h (x ) + g (x) * h '(x) Ми маємо: => dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x) + x * d / dx (ln Докладніше »

Для функції f (x) = x ^ n, n не повинна дорівнювати 0, з причин, які стануть зрозумілими. n також має бути цілим числом або раціональним числом (тобто дробом). Правило: f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) Іншими словами, ми "запозичуємо" силу x і робимо її коефіцієнтом похідної, а потім відняти 1 від влади. f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 f (x) = x ^ 7 => f' (x) = 7x ^ 6 f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) Як я вже говорив, особливий випадок - n = 0. Це означає, що f (x) = x ^ 0 = 1 Ми можемо скористатися нашим правилом і технічно отримати правильну відповідь: f '(x) Докладніше »

F '(x) = 2x / x ^ (1/2) X ^ (1/2) 1 + x ^ (- 1/2) x X / x ^ (1/2) + x / x ^ (1 / 2) 2x / x ^ (1/2) Докладніше »

Ми можемо вирішити цю проблему в кілька кроків, використовуючи неявне диференціювання. Крок 1) Візьмемо похідну обох сторін по відношенню до х. (Delta) / (Deltax) (y ^ 2) = (Delta) / (Deltax) (x) Крок 2) Щоб знайти (Delta) / (Deltax) (y ^ 2), ми повинні використовувати правило ланцюга, оскільки змінні різні. Правило ланцюга: (Delta) / (Deltax) (u ^ n) = (n * u ^ (n-1)) * (u ') Підключення до нашої проблеми: (Delta) / (Deltax) (y ^ 2) = (2 * y) * (Deltay) / (Deltax) Крок 3) Знайдіть (Delta) / (Deltax) (x) за допомогою простого правила потужності, оскільки змінні є однаковими. Правило потужності: (Delta) / (Deltax) (x ^ Докладніше »

Dy / dx = x + x ^ -3> "диференціювати за допомогою" кольорового (синього) "правила керування" • колір (білий) (x) d / dx (ax ^ n) = nax ^ (n-1) y = 1 / 2x ^ 2-1 / 2x ^ -2 rArrdy / dx = (2xx1 / 2) x ^ (2-1) - (- 2xx1 / 2) x ^ (- 2-1) колір (білий) (rArrdy / dx) = x + x ^ -3 Докладніше »

Y = 3sin (x) -sin (3x) y '= 3cosx [cos (3x) * 3] колір (білий) (ttttt ["застосовуючи ланцюгове правило до" sin (3x)] y' = 3 (cosx cos3x ) Докладніше »

Похідна 4х. Для цього можна використати правило потужності: frac d dx ax ^ n = nax ^ (n-1). Отже, якщо ми маємо y = 2x ^ 2 -5, єдиний член, що включає x, є 2x ^ 2, так що це єдиний член, який ми повинні знайти похідну від. (Похідна константи, така як -5 завжди буде 0, тому ми не повинні турбуватися про це, оскільки додавання або віднімання 0 не змінить нашу загальну похідну.) Слідуючи правилу потужності, frac d dx 2x 2 = 2 (2) x ^ (2-1) = 4x. Докладніше »

Y '= 8sec ^ 2 (x) tan (x) Пояснення: давайте почнемо з загальної функції, y = (f (x)) ^ 2 диференціюючи по x Використовуючи правило ланцюжка, y' = 2 * f (x) * f '(x) Аналогічно наступна для даної задачі, дає y = 4 * sec ^ 2 (x) y' = 4 * 2 * sec (x) * sec (x) tan (x) y '= 8sec ^ 2 (x ) tan (x) Докладніше »

Відповідь: y '= sec (x) Повне пояснення: Припустимо, y = ln (f (x)) Використовуючи правило ланцюга, y' = 1 / f (x) * f '(x) Аналогічно, якщо слідувати за проблемою , то y '= 1 / (sec (x) + tan (x)) * (sec (x) + tan (x))' y '= 1 / (sec (x) + tan (x)) * (сек (x) tan (x) + sec ^ 2 (x)) y '= 1 / (sec (x) + tan (x)) * sec (x) (sec (x) + tan (x)) y' = sec (x) Докладніше »

Похідна y = sec ^ 2x + tan ^ 2x це: 4sec ^ 2xtanx Процес: Оскільки похідна суми дорівнює сумі похідних, ми можемо просто вивести sec ^ 2x і tan ^ 2x окремо і додати їх разом . Для похідної sec ^ 2x необхідно застосувати правило ланцюга: F (x) = f (g (x)) F '(x) = f' (g (x)) g '(x), причому зовнішнє функція - це x ^ 2, а внутрішня функція - secx. Тепер ми знаходимо похідну зовнішньої функції, зберігаючи при цьому внутрішню функцію, а потім помножуємо її на похідну внутрішньої функції. Це дає нам: f (x) = x ^ 2 f '(x) = 2x g (x) = secx g' (x) = secxtanx Підключаючи їх до нашої формулою ланцюгового правила Докладніше »

За правилом продукту можна знайти y '= secx (1 + 2tan ^ 2x). Давайте розглянемо деякі деталі. y = secxtanx За правилом продукту, y '= secxtanx cdot tanx + secx cdot sec ^ 2 x факторинг з сек x, = secx (tan ^ 2x + sec ^ 2x) сек ^ 2x = 1 + tan ^ 2x, = secx ( 1 + 2т ^ 2) Докладніше »

Похідною tanx є sec ^ 2x. Щоб дізнатися, чому, потрібно знати кілька результатів. По-перше, потрібно знати, що похідна sinx - cosx. Ось доказ цього результату з перших принципів: як тільки ви знаєте це, це також означає, що похідна cosx є -sinx (яку вам також знадобляться пізніше). Ви повинні знати ще одну річ, яка є коефіцієнтом правила для диференціації: як тільки всі ці частини знаходяться на місці, диференціація йде таким чином: d / dx tanx = d / dx sinx / cosx = (cosx. Cosx-sinx. -sinx)) / (cos ^ 2x) (з використанням коефіцієнта Quotient Rule) = (cos ^ 2x + sin ^ 2x) / (cos ^ 2x) = 1 / (cos ^ 2x) (за допомогою піфагор Докладніше »

D / dx (x ^ 2 5x + 10) = 2x-5 Правило потужності дає похідну виразу виду x ^ n. d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} Також нам знадобиться лінійність похідної d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * d / dx ( f (x)) + b * d / dx (g (x)) і що похідна константи дорівнює нулю. Ми маємо f (x) = x ^ 2 5x + 10 d / dxf (x) = d / dx (x ^ 2 5x + 10) = d / dx (x ^ 2) -5d / dx (x) + d / dx (10) = 2 * x ^ 1-5 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x-5 Докладніше »

Відмінностей немає, два слова є синонімами. Докладніше »

Невизначені інтеграли не мають нижньої / верхньої меж інтеграції. Вони є загальними антидеривантами, тому вони дають функції. int f (x) dx = F (x) + C, де F '(x) = f (x) і C будь-яка постійна. Визначені інтеграли мають нижню і верхню межі інтеграції (а і б). Вони дають значення. int_a ^ b f (x) dx = F (b) -F (a), де F '(x) = f (x). Я сподіваюся, що це було корисно. Докладніше »

Швидкість - вектор, а швидкість - величина. Нагадаємо, що вектор має напрямок і величину. Швидкість просто величина. Напрямок може бути таким же простим, як позитивний і негативний. Величина завжди позитивна. У випадку позитивного / негативного напрямку (1D) можна використовувати абсолютне значення, | v |. Однак, якщо вектор 2D, 3D або вище, необхідно використовувати евклідову норму: || v ||. Для 2D, це || v || = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) І, як ви можете здогадатися, 3D: || v || = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2) Докладніше »

Теорема проміжної вартості (IVT) говорить, що функції, які є безперервними на інтервалі [a, b], приймають всі (проміжні) значення між їхніми крайностями. Теорема екстремальної вартості (EVT) говорить, що функції, які є безперервними на [a, b], досягають своїх крайніх значень (високих і низьких). Ось твердження EVT: Нехай f є неперервним на [a, b]. Тоді існують числа c, d в [a, b] такі, що f (c) leq f (x) eq f (d) для всіх x в [a, b]. Інакше кажучи, "supremum" M і "infimum" m діапазону {f (x): x в [a, b]} існують (вони кінцеві) і існують числа c, d t [a, b] такі, що f (c) = m і f (d) = M. Зауважимо, що ф Докладніше »

Якщо ви намагаєтеся визначити conergence суми {a_n}, то можна порівняти з сумою b_n, збіжність якої відома. Якщо 0 leq a_n leq b_n і сума b_n збігається, то сума a_n також сходиться. Якщо a_n geq b_n geq 0 і sum b_n розходяться, то сума a_n також розходиться. Цей тест є дуже інтуїтивним, тому що все, що він говорить, полягає в тому, що якщо більша серія збігається, то менші серії також збігаються, і якщо менші серії розходяться, то більша серія розходиться. Докладніше »

Int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 = 1/4 (ln (x + 1) -ln (x-1) - (2x) / (x ^ 2-1)) + C int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 = int ("d" x) / ((x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) Тепер давайте зробимо часткові фракції. Припустимо, що 1 / ((x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) = A / (x + 1) + B / (x + 1) ^ 2 + C / (x-1) + D / ( x-1) ^ 2 для деяких констант A, B, C, D. Тоді 1 = A (x + 1) (x-1) ^ 2 + B (x-1) ^ 2 + C (x + 1) ^ 2 (x-1) + D (x + 1) ^ 2 Розгорнути для отримання 1 = (A + C) x ^ 3 + (B + C + DA) x ^ 2 + (2D-2B-AC) x + A + B-C + D. Рівномірні коефіцієнти: {(A + C = 0), (B + C + DA = 0), (2D-2B-AC = 0), (A + B-C + D = 1):} Вирішення Докладніше »

3 "Миттєва швидкість зміни f (x) при x = a" позначає "похідну від f (x) при x = a. Похідна в точці представляє швидкість зміни функції в цій точці або миттєву швидкість зміни , часто представлений дотичною лінією з нахилом f '(a). f (x) = 3x + 5 f' (x) = 3, похідна константи дорівнює нулю, тобто п'ять не грає тут ніякої ролі. при x = 1, або при будь-якому x фактично, швидкість зміни дорівнює 3. Докладніше »

F '(x) = 2xe ^ (x ^ 2) У нас є ланцюгове правило, ми маємо зовнішню функцію f (u) = e ^ u, а внутрішня функція u = x ^ 2 Правило ланцюга виводить обидві функції, а потім множить похідні, так f '(u) * u' f '(u) = e ^ u u' = 2x Mutply похідні 2xe ^ u = 2xe ^ (x ^ 2) = f '(x) Докладніше »

Відсутні зміни f '' '' (x) = - 5e ^ x Просто вивести його 4 рази Правило для виведення e ^ xf (x) = e ^ x rArre ^ xf (x) = - 5e ^ x f '(x) = -5e ^ x f '' (x) = - 5e ^ x f '' '(x) = - 5e ^ x f' '' '(x) = - 5e ^ x Докладніше »

Ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3. Загальна форма розширення Тейлора з центром в a аналітичної функції f дорівнює f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ((n)) (a) / (n!) (X-a) ^ n. Тут f ^ ((n)) є n-й похідною від f. Поліном Тейлора третього ступеня є поліном, що складається з перших чотирьох (n від 0 до 3) членів повного розширення Тейлора. Тому цей поліном f (a) + f '(a) (xa) + (f' '(a)) / 2 (xa) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (xa) ^ 3 . f (x) = ln (x), тому f '(x) = 1 / x, f' '(x) = - 1 / x ^ 2, f' '' (x) = 2 / x ^ 3. Отже, поліном Тейлора третього ступеня є: ln (a) + 1 / a (x- Докладніше »

Відповідь: Домен x в [-6 / 5, oo) Діапазон [0, oo) Необхідно мати на увазі, що для домену: sqrt (y) -> y> = 0 ln (y) -> y> 0 1 / y-> y! = 0 Після цього ви будете приводити до нерівності, що дає вам домен. Ця функція є комбінацією лінійних і квадратних функцій. Лінійний має домен RR. Квадратна функція повинна мати позитивне число всередині квадрата. Отже: (5x + 6) / 2> = 0 Оскільки 2 є позитивним: 5x + 6> = 0 5x> = -6 Оскільки 5 є позитивним: x> = -6/5 Домен функцій: x в [ -6 / 5, oo) Діапазон кореневої функції (зовнішня функція) дорівнює [0, oo) (нескінченна частина може бути доведена через межу Докладніше »

F '(x) = (ye ^ y) / ((yx) ^ 2 + ye ^ y-xe ^ y + xe ^ y) По-перше, ми повинні познайомитися з деякими правилами обчислення f (x) = 2x + 4 може диференціювати 2x і 4 окремо f '(x) = dy / dx2x + dy / dx4 = 2 + 0 = 2 Аналогічно можна диференціювати 4, y і - (xe ^ y) / (yx) окремо dy / dx4 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Відомо, що диференціювання констант dy / dx4 = 0 0 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Так само правило для диференціації y dy / dxy = dy / dx 0 = dy / dx-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Нарешті, щоб диференціювати (xe ^ y) / (yx), ми повинні використовувати правило частки Нехай xe ^ y = u і нехай yx = v Факт Докладніше »

Dy / dx = (ye ^ (xy) y ^ 3) / (x-xe ^ (xy) y ^ 2) 1 = x / ye ^ (xy) Спочатку ми повинні знати, що ми можемо диференціювати кожну частину окремо. = 2x + 3 ми можемо диференціювати 2x і 3 окремо dy / dx = dy / dx2x + dy / dx3 rArrdy / dx = 2 + 0 Так само ми можемо диференціювати 1, x / y та e ^ (xy) окремо dy / dx1 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) Правило 1: похідна dy / dxC rArr 0 константи дорівнює 0 0 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) dy / dxx / y диференціювати це за допомогою факторного правила Rule 2: dy / dxu / v rArr ((du) / dxv- (dv) / dxu) / v ^ 2 або (vu'-uv ') / v ^ 2 u = x rArr u' = 1 Правило 2: y ^ n rAr Докладніше »

F '(x) = (4e ^ (2x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2sin ((1-e ^ (2x)) / (1 + e ^ (2x))) Ми маємо справу з Правило ланцюга для косинуса cos (s) rArr s '* - sin (s) Тепер ми повинні зробити коефіцієнт s = (1-e ^ (2x)) / (1 + e ^ ( 2x)) dy / dxu / v = (u'v-v'u) / v ^ 2 Правило для отримання правила: e ^ u rArr u'e ^ u Вивести як верхню, так і нижню функції 1-e ^ (2x ) rArr 0-2e ^ (2x) 1 + e ^ (2x) rArr 0 + 2e ^ (2x) Покладіть його у приватне правило s '= (u'v-v'u) / v ^ 2 = (- 2e) ^ (2x) (1 + e ^ (2x)) - 2e ^ (2x) (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 Просто s '= (- 2e ^ ( 2x) ((1 + e ^ (2x)) + (1-e ^ (2 Докладніше »

A = 2sqrt2 Формула для параметричної довжини дуги: A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt Ми починаємо з пошуку двох похідних: dx / dt = 1 і dy / dt = 1 Це дає, що довжина дуги: A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = [sqrt2t] _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 Оскільки параметрична функція настільки проста (це пряма), нам навіть не потрібна інтегральна формула. Якщо побудувати функцію на графіку, можна просто використати формулу звичайної відстані: A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt ( 4 * 2) = 2sqrt2 Це дає нам той же результат, що і інтеграл, що показує, Докладніше »

Інтеграл розходиться. Ми могли б скористатися тестом порівняння для невідповідних інтегралів, але в цьому випадку інтеграл настільки простий, щоб оцінити, що ми можемо просто обчислити його і побачити, чи обмежено це значення. dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = [2sqrtx] _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) ( 2sqrtx) = oo Це означає, що інтеграл розходиться. Докладніше »

=> (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c Проведення ... Нехай 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 => sqrt ( 3) / 2 u = x-1/2 => sqrt (3) / 2 du = dx => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du Використовуючи антидереватив, що має бути вкладено в пам'ять ... => ( 2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c => u = (2x-1) / sqrt3 => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c Докладніше »

F (x) - увігнута при x = -3 примітка: увігнута = опукла, увігнута вниз = увігнута Спочатку необхідно знайти інтервали, на яких функція увігнута і увігнута вниз. Ми робимо це, знайшовши другу похідну і встановивши її рівну нулю, щоб знайти значення x f (x) = (x-9) ^ 3 - x + 15 d / dx = 3 (x-9) ^ 2 - 1 d ^ 2 / dx ^ 2 = 6 (x-9) 0 = 6x - 54 x = 9 Тепер перевіряємо значення x у другій похідній по будь-якій стороні цього числа для позитивних і негативних інтервалів. позитивні інтервали відповідають увігнутим, а негативні інтервали відповідають увігнутому вниз, коли x <9: негативні (увігнуті вниз), коли x> 9: позитивні (уві Докладніше »

Int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C Спочатку можна використовувати ідентичність: 2sinthetacostheta = sin2x, яка дає: int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Тепер ми можемо використовувати інтеграцію по частинах. Формула: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx I дозволить f (x) = sin () 2x) і g '(x) = e ^ x / 2. Застосовуючи формулу, отримуємо: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Тепер ми можемо застосувати інтеграцію частинами ще раз , на цей раз з f (x) = cos (2x) і g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ Докладніше »

Загальне рішення: y = 1-1 / (e ^ t + C) Ми маємо: dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 Ми можемо збирати терміни для подібних змінних: 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t, що є сепарабельним звичайним нелінійним диференціальним рівнянням першого порядку, так що ми можемо "відокремити змінні", щоб отримати: int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e Обидва інтеграла є тими, що належать до стандартних функцій, тому ми можемо використовувати це знання для безпосередньої інтеграції: -1 / (y-1) = e ^ t + C І ми можемо легко переставити y: - (y-1) = 1 / (e ^ t + C):. 1-y = 1 / (e ^ t + C), що веде до загального рішення: y = 1-1 / (e ^ t + C) Докладніше »

-2sin (2t) / (cos (2t) ^ 2 + 1) Похідна tan ^ -1 (x) дорівнює 1 / (x ^ 2 + 1), коли підставимо cos (2t) для x отримуємо 1 / ( cos (2t) ^ 2 + 1) Тоді ми застосовуємо правило ланцюга для cos (2t) 1 / (cos (2t) ^ 2 + 1) * -2sin (2t) Наша остаточна відповідь - 2sin (2t) / (cos) (2т) ^ 2 + 1) Докладніше »

Звертається за допомогою тесту прямого порівняння. Ми можемо використовувати тест прямого порівняння, наскільки ми маємо сума_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2), IE, серія починається в одному. Щоб скористатися тестом прямого порівняння, ми повинні довести, що a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) позитивний на [1, oo). Спочатку зауважимо, що на інтервалі [1, оо), cos (1 / k) є позитивним. Для значень x = 1, 1 / kДокладніше »

D / (dx) ln (e ^ (4x) + 3x) = (4e ^ (4x) +3) / (e ^ (4x) + 3x) Похідна lnx дорівнює 1 / x Так похідна від ln (e ^ ( 4x) + 3x) 1 / (e ^ (4x) + 3x) d / dx (e ^ (4x) + 3x) (правило ланцюга) Похідна e ^ (4x) + 3x дорівнює 4e ^ (4x) +3 Отже, похідна ln (e ^ (4x) + 3x) дорівнює 1 / (e ^ (4x) + 3x) * (4e ^ (4x) +3) = (4e ^ (4x) +3) / (e ^ ( 4x) + 3x) Докладніше »

Так: Анти-похідна або примітивна функція досягається шляхом інтеграції функції. Емпіричне правило тут полягає в тому, щоб знайти антидереватив / інтеграл функції, яка є поліномою: візьміть функцію і збільште всі індекси x на 1, а потім поділіть кожний член на їх новий індекс x. Або математично: int x ^ n = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ C) Ви також додаєте до функції постійну, хоча в цій задачі константа буде довільною. Тепер, використовуючи наше правило, можна знайти примітивну функцію F (x). F (x) = ((8x ^ (3 + 1)) / (3 + 1)) + ((5x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) + ((- 9x ^ (1 + 1) )) / (1 + 1)) + ((3x ^ (0 + 1)) / (0 + 1)) (+ C) Якщо Докладніше »

По-перше, спостерігаємо функцію f (x) = -2 ^ x Очевидно, що ця функція зменшується і негативна (тобто нижче осі абсцис) над своєю областю. У той же час розглянемо функцію h (x) = 1-x ^ 2 на інтервалі 0 <= x <= 1. Ця функція зменшується протягом зазначеного інтервалу. Однак це не є негативним. Тому функція не повинна бути негативною протягом інтервалу, на який вона зменшується. Докладніше »

Y = 1 / 108x-3135/56 Нормальна лінія до дотичної - перпендикулярна дотичній. Ми можемо знайти нахил дотичної лінії, використовуючи похідну початкової функції, а потім прийняти її протилежне, щоб знайти нахил нормальної лінії в тій же точці. f (x) = 3x ^ 4-x ^ 3 f '(x) = 12x ^ 3-3x ^ 2 f' (- 2) = 12 (-2) ^ 3-3 (-2) ^ 2 = 12 ( -8) -3 (4) = - 108 Якщо -108 є нахилом дотичної лінії, то нахил нормальної лінії дорівнює 1/108. Точка на f (x), що нормальна лінія перетинатиметься (-2, -56). Ми можемо записати рівняння нормальної лінії у вигляді точки-схилу: y + 56 = 1/108 (x + 2) У формі перекриття нахилу: y = 1 / 108x-3135 Докладніше »

Y = x / 4 + 23/4 f (x) = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 7x-1 Функція градієнта є першою похідною f '(x) = 3x ^ 2 + 6x + 7 Так градієнт, коли X = -1 - 3-6 + 7 = 4 Градієнт нормальної, перпендикулярної до дотичної -1/4 Якщо ви не впевнені в цьому, намалюйте лінію з градієнтом 4 на квадраті паперу і намалюйте перпендикуляр. Отже, нормальним є y = -1 / 4x + c Але ця лінія проходить через точку (-1, y) з початкового рівняння, коли X = -1 y = -1 + 3-7-1 = 6 Так 6 = -1 / 4 * -1 + c C = 23/4 Докладніше »

12x ^ 3-8x "і" 36x ^ 2-8> "диференціювати за допомогою" кольорового (синього) "правила керування" • колір (білий) (x) d / dx (ax ^ n) = nax ^ (n-1) ) dy / dx = (4xx3) x ^ 3- (2xx4) x + 0 колір (білий) (dy / dx) = 12x ^ 3-8x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 36x ^ 2-8 Докладніше »

Y '' = 12x ^ 2-12 У даній вправі похідна цього виразу грунтується на диференціюванні правила потужності, яке говорить: колір (синій) (dx ^ n / dx = nx ^ (n-1)) Перший похідна: y = x ^ 4-6x ^ 2 + 8x + 8 y '= 4x ^ 3-12x + 8 Друга похідна: y' '= 12x ^ 2-12 Докладніше »

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(перша похідна)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(друга похідна)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) (dy) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1 / 3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4 / 3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(перша похідна)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((- 2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1 / 3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(друга похідна)" Докладніше »

Перший похідний тест для локальних екстремумів Нехай x = c - критичне значення f (x). Якщо f '(x) змінює свій знак з + на - навколо x = c, то f (c) - локальний максимум. Якщо f '(x) змінює свій знак з - на + навколо x = c, то f (c) є локальним мінімумом. Якщо f '(x) не змінює свого знака навколо x = c, то f (c) не є ні локальним максимумом, ні локальним мінімумом. Докладніше »

Якщо перша похідна рівняння позитивна в цій точці, то функція зростає. Якщо вона від'ємна, функція зменшується. Якщо перша похідна рівняння позитивна в цій точці, то функція зростає. Якщо вона від'ємна, функція зменшується. Дивіться також: http://mathworld.wolfram.com/FirstDerivativeTest.html Припустимо, що f (x) є безперервним у стаціонарній точці x_0. Якщо f ^ '(x)> 0 на відкритому інтервалі, що проходить ліворуч від x_0 і f ^' (x) <0 на відкритому інтервалі, що простирається від x_0, то f (x) має локальний максимум (можливо, глобальний максимум) на x_0. Якщо f ^ '(x) <0 на відкритому інтерва Докладніше »

Перший похідний тест для локальних екстремумів Нехай x = c - критичне значення f (x). Якщо f '(x) змінює свій знак з + на - навколо x = c, то f (c) - локальний максимум. Якщо f '(x) змінює свій знак з - на + навколо x = c, то f (c) є локальним мінімумом. Якщо f '(x) не змінює свого знака навколо x = c, то f (c) не є ні локальним максимумом, ні локальним мінімумом. Докладніше »

= 0 lim_ (x-> 0) (sin ^ 2x) / x ---- lim_ (x-> 0) (sinx) / x = 1 помножити на lim_ (x-> 0) (sinx.sinx) / x = lim_ (x-> 0) (x) / x (sinx.sinx) / x lim_ (x-> 0) (x) / x (sinx.sinx) / x = lim_ (x-> 0) x (( sinx.sinx)) / (xx) = lim_ (x-> 0) (sinx / x) (sinx / x) (x) lim_ (x-> 0) (sinx / x) (sinx / x) (x) = 1.1.x = x lim_ (x-> 0) (sin ^ 2x) / x = lim_ (x-> 0) x lim_ (x-> 0) x = 0 Докладніше »

1 oo) | a_ (n + 1) / a_n |. Якщо L <1, то серія абсолютно збіжна (і, отже, конвергентна) Якщо L> 1, то серія розходиться. Якщо L = 1, то Тест на коефіцієнт не є вичерпним. Для Power Series, однак, можливі три випадки: a. Силові ряди збігаються для всіх дійсних чисел; його інтервал збіжності є (-оо, оо) b. Силовий ряд збігається для Докладніше »

F '(x) = (x (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2)) / (x ^ 2 + 3) = x / ((x ^ 2 + 3) (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (1/2)) = x / ((x ^ 2 + 3) sqrt (ln (x ^ 2 + 3))) Нами дано: y = (ln (x ^ 2 + 3) ) ^ (1/2) y '= 1/2 * (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (1 / 2-1) * d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] y' = ( ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2) / 2 * d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] = (d / dx) [x ^ 2 + 3]) / (x ^ 2 + 3) d / dx [x ^ 2 + 3] = 2x y '= (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2) / 2 * (2x) / (x ^ 2 + 3) = (x (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2)) / (x ^ 2 + 3) = x / ((x ^ 2 + 3) (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (1/2)) = x / ((x ^ 2 + 3) sqrt (ln (x ^ 2 + 3))) Докладніше »

F (x) = -1 / (ln (10)) [x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + ... + x ^ (n + 1) / (n +) 1) ^ 2] Візуальний: перевірте цей графік Ми чітко не можемо оцінити цей інтеграл, оскільки він використовує будь-які звичайні методи інтеграції, які ми дізналися. Однак, оскільки він є певним інтегралом, ми можемо використовувати серію MacLaurin і робити те, що називається терміном терміном інтеграції. Потрібно знайти серію MacLaurin. Оскільки ми не хочемо знаходити n-й похідної цієї функції, нам потрібно буде спробувати і вписати її в одну з серій MacLaurin, яку ми вже знаємо. По-перше, ми не любимо журнал; ми хочемо, щоб це було ln. Для Докладніше »

Sqrt (6) a ^ x = exp (x * ln (a)) = 1 + x * ln (a) + (x * ln (a)) ^ 2/2 + (x * ln (a)) ^ 3 / 6 + ... => 3 ^ x + 2 ^ x = 2 + x * (ln (3) + ln (2)) + x ^ 2 * (ln (3) ^ 2 + ln (2) ^ 2 ) / 2 + x ^ 3 * (ln (3) ^ 3 + ln (2) ^ 3) / 6 + ... = 2 + x * ln (6) + x ^ 2 * (... => 3 ^ x) ^ 2 + (2 ^ x) ^ 2 = 3 ^ (2х) + 2 ^ (2х) = 2 + 2 * х * лн (6) + 4 * х ^ 2 * (лн (2) ^ 2 + ln (3) ^ 2) / 2 + 8 * x ^ 3 * (ln (3) ^ 3 + ln (2) ^ 3) / 6 + ... => (3 ^ (2x) + 2 ^ (2x)) / (3 ^ x + 2 ^ x) = "1 + (x * ln (6) + 3 * x ^ 2 * ...) / (2 + x * ln (6) + x ^ 2 * ...) ~~ 1+ (x * ln (6)) / 2 "(для x" -> "0)" "під Докладніше »

Як згадується в коментарях нижче, це серія MacLaurin для f (x) = cos (x), і ми знаємо, що це сходиться на (-oo, oo). Однак, якщо ви хочете побачити процес: Оскільки ми маємо факториал у знаменнику, ми використовуємо тест на співвідношення, оскільки це робить спрощення трохи легше. Ця формула є: lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) Якщо це <1, ваші серії збігаються Якщо це> 1, ваші серії розходяться Якщо це = 1, ваш тест є безрезультатним , зробимо це: lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ( (2k)!) / (X ^ (2k)) Примітка: Будьте дуже обережні щодо того, як ви підключаєте свій (k Докладніше »

Немає мін або максимумів Точка перегину при x = -2/3. граф {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 [-10, 10, -10, 20]} #Mins і Maxes Для заданого x-значення (назвемо його c) буде max або min для заданого функція, вона повинна задовольняти наступному: f '(c) = 0 або невизначена. Ці значення c також називаються критичними точками. Примітка: Не всі критичні точки макс. / Хв., Але всі макс. / Хв. Є критичними точками. Отже, знайдемо їх для вашої функції: f '(x) = 0 => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 Це не фактор, тому давайте спробуємо квадратичну формулу: x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6)) Докладніше »

"Див. Пояснення" "Можливо, моя відповідь не повністю відповідає точці, але я знаю" "про колір (червоний) (" перетворення Хопфа-Коула ")." "Трансформація Хопфа-Коула - це перетворення, карти якої" "вирішення" кольору (червоний) ("рівняння Бюргерса") "до" кольору (синій) ("рівняння тепла"). " - Можливо, там можна знайти натхнення. Докладніше »

Dr | _ (r = 10) = 0.45м // min. Оскільки площа кола є A = pi r ^ 2, ми можемо взяти диференціал на кожній стороні, щоб отримати: dA = 2підр Отже, радіус змінюється зі швидкістю dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) ) Отже, dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0.45м // min. Докладніше »

206.6 "км / год" Це проблема, пов'язана з тарифами. Для таких проблем, це ключ до малювання. Розглянемо діаграму нижче: Далі ми пишемо рівняння. Якщо ми називаємо R відстань між автомобілем Rose та перетином, та F відстань між автомобілем Frank та перетином, як ми можемо написати рівняння знаходячи відстань між двома у будь-який даний час? Ну, якщо ми використовуємо pythogorean theorum, то виявимо, що відстань між машинами (назвемо, що x): x = sqrt (F ^ 2 + R ^ 2) Тепер нам потрібно знайти миттєву швидкість зміни x по відношенню до час (t). Отже, ми беремо похідну від обох сторін цього рівняння по часу. Заува Докладніше »

E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) Почнемо з розбиття інтеграла на три: int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx sin (x) dx = = e e x x cos (x) dx-int a ^ 3 (x) dx-cos (x) лівий інтеграл 1 і правий інтеграл 2 Інтеграл 1 Тут потрібна інтеграція по частинах і маленький трюк. Формула для інтеграції за частинами: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx У цьому випадку I ' lp f (x) = e ^ x та g '(x) = cos (x). Отримуємо, що f '(x) = e ^ x та g (x) = sin (x). Це робить наш інтеграл: int e ^ Докладніше »

Ви використовуєте Закон Стевіна, щоб оцінити зміну тиску на різних глибинах: Вам також потрібно знати щільність рх морської води (з літератури ви повинні отримати: 1.03xx10 ^ 3 (кг) / м ^ 3, що більш-менш Точніше враховуючи, що, мабуть, через холодне море (я думаю, що це було Баренцове море) і глибини, ймовірно, зміниться, але ми можемо наблизитися, щоб мати можливість зробити розрахунок). Закон Стевіна: P_1 = P_0 + rhog | h | Як тиск "сила" / "область" ми можемо записати: "force" = "pressure" xx "area" = 1.06xx10 ^ 6xx4 = 4.24xx10 ^ 6N Я передбачав площу металевого листа 4 Докладніше »

Lim_ (x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) = sqrt (2) l_ (x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) = lim_ ( x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) * sqrt (1 + cos (x)) / sqrt (1 + cos (x)) = lim_ (x-> 0) (xsqrt (1 + cos) (x))) / sqrt (1-cos ^ 2 (x)) = lim_ (x-> 0) (xsqrt (1 + cos (x))) / sin (x) = lim_ (x-> 0) x / sin (x) sqrt (1 + cos (x)) = lim_ (x-> 0) x / sin (x) * lim_ (x-> 0) sqrt (1 + cos (x)) = 1 * sqrt ( 2) = sqrt (2) Докладніше »

X ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) Express x ^ tanx як потужність e: x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) = d / dxe ^ (lnxtanx) правило ланцюга, d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), де u = lnxtanx та d / (du) (e ^ u) = e ^ u = ( d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) Експрес е ^ (lnxtanx) як потужність x: e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) Використовуйте правило продукту, d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx), де u = lnx та v = tanx = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx Похідна tanx - sec ^ 2x = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (lnx)) tanx) По Докладніше »

Ряд розходиться, оскільки межа цього співвідношення становить> 1 lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3) (n + 1)) = 4/3> 1 Нехай a_n - n-й член цієї серії: a_n = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) Тоді a_ (n + 1) ) = ((2 (n + 1))!) / (3 ^ (n + 1) ((n + 1)!) ^ 2) = ((2n + 2)!) / (3 * 3 ^ n ( (n + 1)!) ^ 2) = ((2n)! (2n + 1) (2n + 2)) / (3 * 3 ^ n (n!) ^ 2 (n + 1) ^ 2) = ( (2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) * ((2n + 1) (2n + 2)) / (3 (n + 1) ^ 2) = a_n * ((2n + 1) 2 (n + 1)) / (3 (n + 1) ^ 2) a_ (n + 1) = a_n * (2 (2n + 1)) / (3 (n + 1)) a_ (n + 1) / a_n = (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) Беручи межа цього с Докладніше »

Нам потрібно знайти, де змінюється увігнутість. Це точки перегину; зазвичай це місце, де друга похідна дорівнює нулю. Наша функція y = f (x) = x e ^ x. Давайте подивимося, де f '' (x) = 0: y = f (x) = x * e ^ x Отже, використовуйте правило продукту: f '(x) = x * d / dx (e ^ x) + e ^ x * d / dx (x) = xe ^ x + e ^ x * 1 = e ^ x (x + 1) f '' (x) = (x + 1) * d / dx (e ^ x) + e ^ x * d / dx (x + 1) = (x + 1) e ^ x + e ^ x * 1 = e ^ x (x + 2) = 0 Встановити f '' (x) = 0 і вирішити, щоб отримати x = -2. Друга похідна змінює знак на рівні -2, так що увігнутість змінюється при х = -2 від увігнутого вниз Докладніше »

Int (2 + x + x ^ 13) dx = 2x + x ^ 2/2 + x ^ 14/14 + c Ми використовуємо правило харчування для інтеграції, тобто: int t (n + 1) / (n + 1) (+ c) для будь-якої константи n! = -1 Отже, використовуючи це, ми маємо: int (2 + x + x ^ 13) dx = 2x + x ^ 2/2 + x ^ 14/14 + c Докладніше »

Інтеграл дорівнює x ^ 4 + C Як задано правилом потужності, int x ^ ndx = x ^ (n + 1) / (n + 1). I = 4x ^ (3+ 1) / (3 + 1) = x ^ 4 + C Сподіваюся, це допоможе! Докладніше »

Спочатку поставили проблему. int (dy) / (dx) dx Відразу два терміни dx скасовують, і ви залишаєтеся; int dy Рішення для якого є; y + C, де С постійна. Це не має бути великим сюрпризом, враховуючи, що похідні та інтеграли є протилежними. Тому, приймаючи інтеграл похідної, слід повертати початкову функцію + C Докладніше »

2e ^ {0.5x} + C e e ^ {0.5x} dx = int e ^ {0.5x} 1 / 0.5d (0.5x) = 1 / 0.5 int e ^ {0.5 x} t 0.5x) = 2e ^ {0.5x} + C Докладніше »

Інтеграція частинами int u dv = uv- int v du Нехай u = ln (7x) "" "" dv = dx => du = {dx} / x "" "" => v = x шляхом інтеграції частинами, int ln (7x) dx = ln (7x) cdot x- int x cdot {dx} / x = x ln (7x) -int dx + C = x ln (7x) - x + CI сподіваюся, що це було корисно. Докладніше »

Ви не можете виразити цей інтеграл в термінах елементарних функцій. Залежно від того, для чого потрібна інтеграція, ви можете вибрати спосіб інтеграції або інший. Інтеграція через силові ряди Нагадаємо, що e ^ x є аналітичною на mathbb {R}, тому длявсього x в mathbb {R} наступне рівність містить e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / { n!} і це означає, що e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!} Тепер можна інтегрувати: int e ^ {x ^ 3} dx = int (сума_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n! }) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} Інте Докладніше »

Підказка: Спочатку застосуйте тригонометричне заміщення. Це питання у формі sqrt (a ^ 2-x ^ 2). Отже, нехай x = sinx (у цьому випадку 1), тоді візьмемо похідну від x. Підключіть його назад до питання int sqrt (1-x ^ 2) dx. Інтегрувати. Ви отримаєте невизначений інтеграл. Встановіть правий трикутник, щоб знайти значення для невизначеного інтеграла. Я сподіваюся, що це відео допоможе зрозуміти. Докладніше »

Всякий раз, коли я бачу такі функції, я розумію (практикуючи багато), що ви повинні використовувати спеціальну заміну тут: int sqrt (9-x ^ 2) dx x = 3sin (u) Це може виглядати як дивна заміна, але ви побачите, чому ми це робимо. dx = 3cos (u) du Замініть everyhting на інтеграл: int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du Ми можемо вивести 3 з інтеграла: 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du Ви можете обчислити 9 out: 3 * int sqrt (9 (1) -sin ^ 2 (u)) * cos (u) du 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du Ми знаємо ідентичність: cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 ми вирішуємо для cosx Докладніше »

Int 1 / x dx = ln abs x + C Причина залежить від того, яке визначення використовується ln x. Я вважаю за краще: Визначення: lnx = int_1 ^ x 1 / t dt для x> 0 За фундаментальної теореми обчислення отримуємо: d / (dx) (lnx) = 1 / x для x> 0 З цього і правила ланцюга , ми також отримуємо d / (dx) (ln (-x)) = 1 / x для x <0 На інтервалі, що виключає 0, антидерівативне 1 / x є lnx, якщо інтервал складається з позитивних чисел, і це ln (-x), якщо інтервал складається з негативних чисел. ln abs x охоплює обидва випадки. Докладніше »

1/6 ln | {sqrt (x ^ 3 + 4) -2} / {sqrt (x ^ 3 + 4) +2} | + C Заміна x ^ 3 + 4 = u ^ 2. Тоді 3x ^ 2dx = 2udu, так що dx / {x sqrt {x ^ 3 + 4}} = {2udu} / {3x ^ 3u} = 2/3 {du} / (u ^ 2-4) = 1 / 6 ({du} / {u-2} - {du} / {u + 2}) Таким чином, int dx / {x sqrt {x ^ 3 + 4}} = 1/6 int ({du} / {u- 2} - {du} / {u + 2}) = 1/6 ln | {u-2} / {u + 2} | + C = 1/6 ln | {sqrt (x ^ 3 + 4) -2 } / {sqrt (x ^ 3 + 4) +2} | + C Докладніше »

-2 / 3sqrt (1-x) (2 + x) + C Нехай, u = sqrt (1-x) або, u ^ 2 = 1-x або, x = 1-u ^ 2 або, dx = -2udu Тепер int (xdx) / (sqrt (1-x)) = int (1-u ^ 2) (- 2udu) / u = int 2u ^ 2du -int 2du Тепер, int 2u ^ 2 du -int 2du = ( 2u ^ 3) / 3 - 2 (u) + C = 2 / 3u (u ^ 2-3) + C = 2 / 3sqrt (1-x) {(1-x) -3} + C = 2 / 3sqrt (1-x) (- 2-x) + C = -2 / 3sqrt (1-x) (2 + x) + C Докладніше »

Дивись нижче. Використовуючи поліноміальну ідентичність (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) маємо для abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x), то для x ne k pi, k у ZZ маємо суму_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) Докладніше »

] -оо, -4 ["U"] 5, oo ["- інтервал збіжності для x" "x = 3 не знаходиться в інтервалі збіжності, тому сума для x = 3 є" оо ". це геометрична серія, підставляючи "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Тоді ми маємо" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "для" | z | <1 "Таким чином, інтервал збіжності є" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (х-2) / 2 <х + 1 <2 (х-2) "АБО" (х-2) / 2> х + 1> 2 (х-2) "(х-2 негативних)" "Позитивний випадок:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0 Докладніше »

X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Можна бачити, що sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n - геометрична серія з відношенням r = 1 / (x (1-x)). Тепер ми знаємо, що геометричні ряди сходяться, коли абсолютне значення співвідношення менше 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Отже, ми повинні вирішити цю нерівність: 1 / (x (1-x)) <1 і 1 / (x (1-x))> -1 Почнемо з першого: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x) )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Ми можемо легко довести, що чисельник завжди позитивний, а знаменник - неогестив інтервал x в (-оо, 0) U (1, оо). Отже, це рішення для на Докладніше »

(-3, -8) Стаціонарні точки функції є при dy / dx = 0 y = x ^ 2 + 6x + 1 dy / dx = 2x + 6 dy / dx = 0 = 2x + 6 x = -6 / 2 = -3 (-3) ^ 2 + 6 (-3) + 1 = 9-18 + 1 = -8 Стаціонарна точка знаходиться на (-3, -8) Докладніше »

Максимальний обсяг циліндра знайдений, якщо вибрати r = sqrt (2/3) R, а h = (2R) / sqrt (3) Цей вибір призводить до максимального об'єму циліндра: V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) `` Уявімо, що поперечний переріз через центр циліндра, і нехай циліндр має висоту h, і об'єм V, тоді ми маємо; h і r можуть бути змінені і R є постійною. Обсяг циліндра задається стандартною формулою: V = pir ^ 2h Радіус сфери, R - гіпотенуза трикутника зі сторонами r і 1 / 2h, тому за допомогою Піфагора ми маємо: t R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 Ми можемо підставити це в наше об'ємне Докладніше »

Увага: Ваш вчитель математики не сподобається цьому методу вирішення! (але це ближче до того, як це буде зроблено в реальному світі). Зауважимо, що якщо x дуже малий (так що сходи майже вертикальний), то довжина сходів буде майже оо, а якщо x дуже велика (так що сходи майже горизонтальна), то довжина трапа (знову) буде майже Якщо ми почнемо з дуже малого значення для x і поступово збільшуємо його, то довжина драбини (спочатку) стане коротшою, але в якийсь момент вона знову повинна буде збільшуватися. Тому ми можемо знайти значення брекетингу "низький Х" і "високий Х", між якими довжина драбини досягне м Докладніше »

Я б сказав оо; У вашому ліміті ви можете підійти до 1 ліворуч (x менше 1) або праворуч (x більше 1), а знаменник завжди буде дуже малим числом і позитивним (завдяки силі двох), даючи: lim_ ( x-> 1) (5 / (x-1) ^ 2) = 5 / (+ 0.0000 .... 1) = оо Докладніше »

Lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x = 0. Ми визначаємо це, використовуючи правило L'hospital. Перефразовуючи, правило L'Hospital стверджує, що при заданні межі виду lim_ (x a) f (x) / g (x), де f (a) і g (a) є значеннями, які викликають граничне значення невизначеним (найчастіше, якщо обидва 0, або якась форма ), то до тих пір, поки обидві функції є неперервними і диференційованими в і в околі а, можна стверджувати, що lim_ (x a) f (x) / g (x) = lim_ (x a) (f '(x)) / (g' (x)) Або на словах, межа частки двох функцій дорівнює межі частки їх похідних. У наведеному прикладі ми маємо f (x) = cos (x) -1 і g (x) = Докладніше »

Є кілька способів її написання. Всі вони захоплюють ту ж ідею. Для y = f (x) похідна y (по відношенню до x) є y '= dy / dx = lim_ (Deltax rarr0) (Delta y) / (Delta x) f' (x) = lim_ (Deltax rarr0) ) (f (x + Delta x) -f (x)) / (Delta x) f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / (h) f' ( x) = lim_ (urarrx) (f (u) -f (x)) / (ux) Докладніше »

Lim_ (x-> 0) sin (x) / x = 1. Ми визначаємо це за допомогою правила L'Hospital. Перефразовуючи, правило L'Hospital стверджує, що при заданні межі виду lim_ (x-> a) f (x) / g (x), де f (a) і g (a) є значеннями, які призводять до обмеження бути невизначеною (найчастіше, якщо обидві 0, або якась форма оо), то до тих пір, поки обидві функції є неперервними і диференційованими в і в околі а, можна стверджувати, що lim_ (x-> a) f (x) ) / g (x) = lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)) Або на словах, межа частки двох функцій дорівнює межі частки їх похідні. У наведеному прикладі ми маємо f (x) = sin (x) і g ( Докладніше »

E ^ 4 Зверніть увагу на біноміальне визначення для числа Ейлера: e = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / x) ^ x- = lim_ (x-> 0) (1 + x) ^ (1 / x) Тут Я буду використовувати визначення x-> oo. У цій формулі нехай y = nx, тоді 1 / x = n / y, а x = y / n номер Ейлера виражається в більш загальному вигляді: e = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ (y / n) Іншими словами, e ^ n = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ y Так як y також є змінною, то замість y можна замінити x: e ^ n = lim_ (x-> oo) (1 + n / x) ^ x Отже, коли n = 4, lim_ (x-> oo) (1 + 4 / x) ^ x = e ^ 4 Докладніше »

Lim_ (x rarr 0 ^ +) 1 / x- (1) / (e ^ x-1) = 1/2 Нехай: f (x) = 1 / x- (1) / (e ^ x-1) "= ((e ^ x-1) - (x)) / (x (e ^ x-1))" "= (e ^ x-1 - x) / (xe ^ xx) Тоді шукаємо: L = lim_ (x rarr 0 ^ +) f (x) = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1 - x) / (xe ^ xx), оскільки це невизначена форма 0/0 застосовувати правило L'Hôpital. L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1 - x)) / (d / dx (xe ^ xx)) = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x -1) / (xe ^ x + e ^ x - 1) Знову ж таки, це невизначена форма 0/0, ми можемо знову застосувати правило L'Hôpital: L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx) (e ^ x-1)) / (d / dx (xe ^ x + e ^ x - Докладніше »

Якщо два ліміти, додані окремо, наближаються до 0, все це наближається до 0. Використовуйте властивість, яке обмежує розподіл над додаванням і відніманням. => lim_ (x-> oo) 1 / x - lim_ (x-> oo) 1 / (e ^ x - 1) Перша межа тривіальна; 1 / "великий" ~~ 0. Другий просить вас знати, що e ^ x збільшується при збільшенні x. Отже, як x-> oo, e ^ x -> oo. => колір (синій) (lim_ (x-> oo) 1 / x - 1 / (e ^ x - 1)) = 1 / oo - 1 / (oo - скасувати (1) ^ "small") = 0 - 0 = колір (синій) (0) Докладніше »

Lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = 1/2 Сума двох термів: 1 / x-1 / (e ^ x-1) = (xe ^ x + 1) / (x (e ^ x-1)) Границя тепер знаходиться в невизначеній формі 0/0, тому ми можемо тепер застосувати l'-госпітальне правило: lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x- 1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x + 1-x)) / (d / dx x (e ^ x-1)) lim_ ( x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (e ^ x-1) / (e ^ x-1 + xe ^ x ) і так як це до вигляду 0/0 вдруге: lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (e ^ x-1 + xe ^ x)) lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x- 1)) = Докладніше »

Дивіться нижче По-перше, перепишіть це як lim_ (x-> 1) 7 / (4 (x-1) ^ 2 зараз коефіцієнт (x-1) ^ 2 = (x-1) (x-1) = x ^ 2- 2x + 1 frac {7} {4x ^ 2-2x + 1} тепер замінює x -> 1 frac {7} {4 (1) ^ 2 -2 (1) +1 7/3, тому lim_ (x- > 1) 7 / (4 (x-1) ^ 2) = 7/6 Докладніше »

1 / ex ^ (1 / (1-x)): графік {x ^ (1 / (1-x)) [-2.064, 4.095, -1.338, 1.74]} Ну, це було б набагато легше, якби ми просто взяли з обох сторін. Оскільки x ^ (1 / (1-x)) безперервний у відкритому інтервалі справа від 1, то можна сказати, що: ln [lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1- x))] = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) Оскільки ln (1) = 0 і (1 - 1) = 0, то це має форму 0/0 і застосовується правило L'Hopital: = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) І, звичайно, 1 / x є неперервним з кожної сторони x = 1. => ln [lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))] = -1 У резу Докладніше »

(Я вважаю, що ви маєте на увазі x = 0) Функція, використовуючи властивості властивості, стає: y = ((1 + x) ^ (1/2)) ^ (1/5) = (1 + x) ^ (( 1/2) (1/5)) = (1 + x) ^ (1/10) Для лінійної апроксимації цієї функції корисно запам'ятати ряд MacLaurin, тобто поліноміал Тейлора з центром в нулі. Ця серія, перервана на другу потужність, дорівнює: (1 + x) ^ alpha = 1 + alpha / (1!) X + (альфа (alpha-1)) / (2!) X ^ 2 ... так що лінійний апроксимацією цієї функції є: g (x) = 1 + 1 / 10x Докладніше »