Що таке межа lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x? + Приклад

#lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x = 0 #. Ми визначаємо це, використовуючи Правило L'hospital.

Перефразовуючи, правило L'Hospital стверджує, що коли дається межа форми #lim_ (x a) f (x) / g (x) #, де #f (a) # і #g (a) # є значеннями, які призводять до невизначеності межі (найчастіше, якщо обидві 0, або якась форма,), то до тих пір, поки обидві функції є неперервними і диференційованими в і в околиці # a, # це можна стверджувати

#lim_ (x a) f (x) / g (x) = lim_ (x a) (f '(x)) / (g' (x)) #

Або словами, межа частки двох функцій дорівнює межі частки їх похідних.

У наведеному прикладі ми маємо #f (x) = cos (x) -1 і #g (x) = x #. Ці функції є безперервними і диференційованими поблизу # x = 0, cos (0) -1 = 0 і (0) = 0 #. Таким чином, наша початкова #f (a) / g (a) = 0/0 =?

Таким чином, ми повинні використовувати правило L'Hospital. # d / dx (cos (x) -1) = - sin (x), d / dx x = 1 #. Таким чином …

#lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x = lim_ (x-> 0) (- sin (x)) / 1 = -sin (0) / 1 = -0/1 = 0 #