Що таке похідна від x ^ x?

Відповідь:

# dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #

Пояснення:

Ми маємо:

# y = x ^ x # Візьмемо природний журнал з обох сторін.

#ln (y) = ln (x ^ x) # Використовуючи те, що #log_a (b ^ c) = clog_a (b) #, # => ln (y) = xln (x) # Застосувати # d / dx # з обох сторін.

# => d / dx (ln (y)) = d / dx (xln (x)) #

Правило ланцюга:

Якщо #f (x) = g (h (x)) #, потім #f '(x) = g' (h (x)) * h '(x) #

Правило потужності:

# d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) # якщо # n # є константою.

Також, # d / dx (lnx) = 1 / x #

Нарешті, правило продукту:

Якщо #f (x) = g (x) * h (x) #, потім #f '(x) = g' (x) * h (x) + g (x) * h '(x) #

Ми маємо:

# => dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x) + x * d / dx (ln (x)) #

# => dy / dx * 1 / y = 1 * ln (x) + x * 1 / x #

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + cancelx * 1 / cancelx #

(Не хвилюйтеся про те, коли # x = 0 #, оскільки #ln (0) # не визначено)

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + 1 #

# => dy / dx = y (ln (x) +1) #

Тепер, оскільки # y = x ^ x #, ми можемо замінити # y #.

# => dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #