Що являє собою найбільший циліндр радіусу, r і висоти h, який може вписатися в сферу радіуса, R?

Відповідь:

Максимальний об'єм циліндра знайдений, якщо ми виберемо

# r = sqrt (2/3) R #, і #h = (2R) / sqrt (3) #

Цей вибір призводить до максимального об'єму циліндра:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Пояснення:

``

Уявіть поперечний переріз через центр циліндра і дайте циліндру висоту # h #і обсяг # V #, тоді ми маємо;

# h # і # r # можуть бути різноманітними і # R # є константою. Обсяг циліндра задається стандартною формулою:

# V = pir ^ 2h #

Радіус сфери, # R # є гіпотенуза трикутника з боками # r # і # 1 / 2h #, таким чином, використовуючи Піфагор, ми маємо:

R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Ми можемо підставити це в наше об'ємне рівняння, щоб отримати:

V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Тепер ми маємо обсяг, # V # як функція однієї змінної # h #, яку ми прагнемо максимізувати # h # так диференціюючи wrt # h # дає:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Як мінімум або максимум, # (dV) / (dh) = 0 # тому:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 4 / 4h ^ 2 = R ^ 2 # t

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 # t

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # # t (очевидно, ми хочемо te + ve корінь)

#:. h = (2R) / sqrt (3) # t

З цим значенням # h # ми отримуємо:

r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Ми повинні перевірити, що це значення призводить до максимального (а не максимального) обсягу, ми робимо це, переглядаючи другу похідну:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

І як #h> 0 # ми робимо висновок, що # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # і що визначена критична точка призводить до максимуму.

Отже, максимальний обсяг циліндра знайдений, якщо ми виберемо

# r = sqrt (2/3) R #, і #h = (2R) / sqrt (3) #

При такому виборі ми отримуємо максимальний обсяг, як;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

І, очевидно, обсяг Сфери дається:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Це дуже відома проблема, яку вивчали грецькі математики ще до того, як було виявлено обчислення. Цікавою властивістю є відношення об'єму циліндра до обсягу сфери:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Іншими словами, співвідношення обсягів повністю незалежне від # R #, # r # або # h # що є досить вражаючим результатом!