Що таке lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) як x наближається до 1 з правого боку?

# 1 / e #

# x ^ (1 / (1-x)) #:

графік {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Ну, це було б набагато легше, якби ми просто взяли # ln # обох сторін. З # x ^ (1 / (1-x)) # є безперервним у відкритому інтервалі праворуч від #1#, можна сказати, що:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

З #ln (1) = 0 # і #(1 - 1) = 0#, це форма #0/0# застосовується правило L'Hopital:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

І звичайно, # 1 / x # є безперервним з кожної сторони #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1

У результаті початковий ліміт:

#color (синій) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = колір (синій) (1 / е) #