Що таке похідна від x ^ n?

Для функції #f (x) = x ^ n #, n слід ні дорівнює 0, з причин, які стануть ясними. n також має бути цілим числом або раціональним числом (тобто дробом).

Правило:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Іншими словами, ми "позичаємо" силу x і робимо її коефіцієнтом похідної, а потім віднімаємо 1 від потужності.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Як я вже говорив, особливий випадок - n = 0. Це означає що

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Ми можемо використовувати наше правило і технічно отримати правильну відповідь:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Проте, пізніше на шляху, ми зіткнемося з ускладненнями, коли ми намагатимемося використовувати зворотне правило цього правила.

Відповідь:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Нижче наведені докази для кожного числа, але тільки доказ для всіх цілих чисел використовує основні навички набору визначень похідних. Доказ для всіх раціоналів використовують правило ланцюга, а для ірраціональних використовують неявну диференціацію.

Пояснення:

Це, як кажуть, я покажу їм все тут, так що ви можете зрозуміти процес. Остерігайтеся цього # буде # бути досить довгим.

Від #y = x ^ (n) #, якщо #n = 0 # ми маємо #y = 1 # і похідна константи завжди є нульовою.

Якщо # n # це будь-яке інше натуральне число, яке ми можемо кинути в формулу похідної і використовувати біноміальну теорему для вирішення проблеми.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Де # K_i # є відповідною константою

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Розділяючи це # h #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Перший термін можна винести з суми

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Беручи межу, все інше ще в сумі йде до нуля. Розрахунок # K_1 # ми бачимо, що вона дорівнює # n #, тому

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Для # n # які є негативними цілими, це трохи складніше. Знаючи це # x ^ -n = 1 / x ^ b #, такий, що #b = -n # і тому є позитивним.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Виведіть перший термін

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ б)) #

Візьміть ліміт, де # K_1 = b #, повертаючи це назад # n #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Для раціональних нас потрібно використовувати правило ланцюга. Тобто. # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Отже, знаючи це # x ^ (1 / n) = корінь (n) (x) # і припускаючи #n = 1 / b # ми маємо

# (x ^ n) ^ b = x #

Якщо # b # навіть, відповідь технічно # | x | # але це досить близько для наших цілей

Отже, використовуючи ланцюгове правило, ми маємо

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

І останнє, але не менш важливе, використовуючи неявну диференціацію, можна довести для всіх реальних чисел, включаючи ірраціональні.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #