Що таке f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx якщо f (pi / 6) = 1?

Відповідь:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Пояснення:

Почнемо з поділу інтеграла на три:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int a ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Лівий інтеграл 1 і правий інтеграл 2

Інтеграл 1

Тут потрібна інтеграція по частинах і маленький трюк. Формула інтеграції за частинами:

f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

У цьому випадку я відпущу #f (x) = e ^ x # і #g '(x) = cos (x) #. Ми отримуємо це

#f '(x) = e ^ x # і #g (x) = sin (x) #.

Це робить наш інтеграл:

# ex xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Тепер ми можемо знову застосувати інтеграцію по частинах, але цього разу #g '(x) = sin (x) #:

# ix xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #

# ex xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Тепер ми можемо додати інтеграл до обох сторін, даючи:

E ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

eint xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Інтеграл 2

Спочатку ми можемо використовувати ідентифікацію:

#tan (тета) = sin (тета) / cos (тета) #

Це дає:

#in ^ 3 (x) dx = int ^ ^ (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

Тепер ми можемо використовувати ідентичність піфагора:

# sin ^ 2 (тета) = 1-cos ^ 2 (тета) #

(sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x)

Тепер можна ввести заміну u # u = cos (x) #. Потім ми ділимо на похідну, # -sin (x) # інтегруватися до # u #:

(скасувати (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (скасувати (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Заповнення оригінального інтеграла

Тепер, коли ми знаємо Integral 1 і Integral 2, ми можемо повернути їх назад до початкового інтеграла і спростити отримання остаточної відповіді:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Тепер, коли ми знаємо антидеревативний, ми можемо вирішити для постійної:

#f (pi / 6) = 1 #

# e ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2sec ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) + C = 1 #

# -2 / 3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Це дає нам можливість:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #