Який інтервал збіжності sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n? А яка сума в х = 3?

$Який інтервал збіжності sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n? А яка сума в х = 3?$

Відповідь:

# - oo, -4 "U" 5, oo "- інтервал збіжності для x" #

# "x = 3 не знаходиться в інтервалі збіжності, тому сума для x = 3 є" oo #

Пояснення:

# "Розглядайте суму, як би це була геометрична серія, підставляючи" # # "

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

# "Тоді ми маємо" #

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "для" | z | <1 #

# "Таким чином, інтервал конвергенції" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "АБО" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 негативний)" #

# "Позитивний випадок:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 і x> 5 #

# => x> 5 #

# "Негативний випадок:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 та x <5 #

# => x <-4 #

# "Друга частина:" x = 3 => z = 2> 1 => "сума є" oo #

Де буде інтервал прогнозування або довірчий інтервал вужчим: поблизу середнього або далі від середнього?

Як прогноз, так і довірчі інтервали є вужчими біля середнього, це можна легко побачити у формулі відповідного поля помилок. Нижче наведено похибку довірчого інтервалу. E = t _ {alpha / 2, df = n-2} s_e sqrt {(frac {1} {n} + frac {(x_0 - x {x}) ^ 2} {S_ {xx }})} Далі наведено похибку для інтервалу прогнозу E = t _ {alpha / 2, df = n-2} s_e sqrt {(1 + frac {1} {n} + frac {( x_0 - b {x}) ^ 2} {S_ {xx}})} В обох цих пунктах ми бачимо термін (x_0 - b {x}) ^ 2, який масштабується як квадрат відстані від точка прогнозування від середнього. Саме тому CI і PI є найменшим у середньому.

Який інтервал збіжності суми {{n = 0} ^ {infty} (cos x) ^ n?

Дивись нижче. Використовуючи поліноміальну ідентичність (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) маємо для abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x), то для x ne k pi, k у ZZ маємо суму_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Що таке інтервал збіжності sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Можна бачити, що sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n - геометрична серія з відношенням r = 1 / (x (1-x)). Тепер ми знаємо, що геометричні ряди сходяться, коли абсолютне значення співвідношення менше 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Отже, ми повинні вирішити цю нерівність: 1 / (x (1-x)) <1 і 1 / (x (1-x))> -1 Почнемо з першого: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x) )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Ми можемо легко довести, що чисельник завжди позитивний, а знаменник - неогестив інтервал x в (-оо, 0) U (1, оо). Отже, це рішення для на