Що таке інтервал збіжності sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

$Що таке інтервал збіжності sum_ {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?$

Відповідь:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Пояснення:

Ми можемо це зробити #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # являє собою геометричну серію з співвідношенням # r = 1 / (x (1-x)) #.

Тепер ми знаємо, що геометричні ряди сходяться, коли абсолютне значення співвідношення менше 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Тому ми повинні вирішити цю нерівність:

# 1 / (x (1-x)) <1 і 1 / (x (1-x))> -1

Почнемо з першого:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Легко можна довести, що чисельник завжди позитивний, а знаменник - неогестивний в інтервалі #x в (-оо, 0) U (1, оо) #.

Отже, це рішення для нашої першої нерівності.

Давайте побачимо другий:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 якщо (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Це нерівність має розв'язок інтервалу:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Таким чином, наші серії збігаються, де це з інтервалами і правда.

Таким чином наш інтервал конвергенції:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Де буде інтервал прогнозування або довірчий інтервал вужчим: поблизу середнього або далі від середнього?

Як прогноз, так і довірчі інтервали є вужчими біля середнього, це можна легко побачити у формулі відповідного поля помилок. Нижче наведено похибку довірчого інтервалу. E = t _ {alpha / 2, df = n-2} s_e sqrt {(frac {1} {n} + frac {(x_0 - x {x}) ^ 2} {S_ {xx }})} Далі наведено похибку для інтервалу прогнозу E = t _ {alpha / 2, df = n-2} s_e sqrt {(1 + frac {1} {n} + frac {( x_0 - b {x}) ^ 2} {S_ {xx}})} В обох цих пунктах ми бачимо термін (x_0 - b {x}) ^ 2, який масштабується як квадрат відстані від точка прогнозування від середнього. Саме тому CI і PI є найменшим у середньому.

Який інтервал збіжності суми {{n = 0} ^ {infty} (cos x) ^ n?

Дивись нижче. Використовуючи поліноміальну ідентичність (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) маємо для abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x), то для x ne k pi, k у ZZ маємо суму_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Який інтервал збіжності sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n? А яка сума в х = 3?

] -оо, -4 ["U"] 5, oo ["- інтервал збіжності для x" "x = 3 не знаходиться в інтервалі збіжності, тому сума для x = 3 є" оо ". це геометрична серія, підставляючи "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Тоді ми маємо" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "для" | z | <1 "Таким чином, інтервал збіжності є" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (х-2) / 2 <х + 1 <2 (х-2) "АБО" (х-2) / 2> х + 1> 2 (х-2) "(х-2 негативних)" "Позитивний випадок:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0