Диференціювати і спрощувати, будь ласка, допомогу?

Відповідь:

# x ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Пояснення:

Експрес # x ^ tanx # як сила e:

# x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = d / dxe ^ (lnxtanx) #

Використовуючи правило ланцюга, # d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), # де # u = lnxtanx # і # d / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) #

Експрес # e ^ (lnxtanx) # як потужність x:

# e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx #

# = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) #

Використовувати правило продукту, # d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx) #, де # u = lnx # і # v = tanx #

# = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx #

Похідна Росії # tanx # є # sec ^ 2x #

# = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (lnx)) tanx) #

Похідна Росії # lnx # є # 1 / x #

# = x ^ tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Відповідь:

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) x ^ tan (x) #

Пояснення:

Ми будемо використовувати логарифмічну диференціацію - тобто, ми візьмемо природний лог обох сторін і диференційовано неявно w.r.t # x #

Дано: # y = x ^ tan (x) #

Візьміть природний журнал (# ln #) обох сторін:

#ln (y) = ln (x ^ tan (x)) #

Застосування правила потужності натурального колоди #ln (a) ^ b = b * ln (a) #

#ln (y) = tan (x) * ln (x) #

Диференціювати обидві сторони неявно w.r.t # x #

# 1 / y * dy / dx = колір (синій) (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) # (Див. Роботу нижче)

Щоб диференціювати RHS, нам потрібно буде використовувати правило продукту!

Ми маємо # d / dx tan (x) * ln (x) #

Дозволяє #f (x) = tan (x) # і #g (x) = ln (x) #

Таким чином, #f '(x) = sec ^ 2 (x) # і #g '(x) = 1 / x #

За правилом продукту: # d / dx f (x) * g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g (x) #

Підставляючи отримуємо:

# d / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) * 1 / x #

Спрощення …

# d / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) / x #

Повертаючись до того, що ми мали раніше:

# 1 / y * dy / dx = sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x #

Ми хочемо ізолювати # dy / dx # тому ми розмножуємо обидві сторони # y #

#cancelcolor (червоний) y * 1 / cancely * dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * колір (червоний) y #

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * колір (червоний) y #

Ми хочемо написати все з точки зору # x # але ми маємо це #color (червоний) y # в дорозі. Ви можете згадати це #color (червоний) y # дається нам на самому початку. #color (червоний) (y = x ^ tan (x)) #

#:. dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * x ^ tan (x) #