Питання 35а7е

Відповідь:

Як згадується в коментарях нижче, це серія MacLaurin для #f (x) = cos (x) #, і ми знаємо, що це збігається # (- oo, oo) #. Однак, якщо ви хочете переглянути цей процес:

Пояснення:

Оскільки ми маємо факториал у знаменнику, ми використовуємо співвідношення тесту, оскільки це полегшує спрощення. Ця формула:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Якщо це значення <1, ваші серії збігаються

Якщо це значення> 1, ваші серії розходяться

Якщо це = 1, ваш тест є невизначеним

Отже, давайте зробимо це:

#lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Примітка: Будьте дуже обережні щодо того, як ви підключаєте (k + 1). 2k перетвориться на 2 (k + 1), НЕ 2k + 1.

Я помножився на зворотний # x ^ (2k) / ((2k)!) # замість розділення просто щоб зробити роботу трохи легше.

Тепер давайте алгебру. Через абсолютну величину, наші змінні терміни (тобто. # (- 1) ^ k #) просто скасують, оскільки ми завжди матимемо позитивну відповідь:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Ми можемо скасувати наші # x ^ (2k) #:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Тепер нам потрібно скасувати факториали.

Нагадаємо, що # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Також, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Повідомлення:

# (2k)! = колір (червоний) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * колір (червоний) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Як бачите, ми # (2k)! # по суті є частиною # (2k + 2)! #. Ми можемо використати це, щоб скасувати всі загальні терміни:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = Скасувати (колір (червоний) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * скасування (колір (червоний) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Це залишає

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Тепер ми можемо оцінити цю межу. Зверніть увагу, що оскільки ми не приймаємо цю межу відносно # x #, ми можемо виразити це:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Отже, як ви бачите, це обмеження = 0, що менше ніж 1. Тепер ми запитуємо себе: чи є якесь значення # x # для яких ця межа буде 1? І відповідь - ні, оскільки все, що помножено на 0, дорівнює 0.

Отже, з #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # для всіх значень # x #, можна сказати, що він має інтервал збіжності # (- oo, oo) #.

Сподіваюся, що допомогла:)