Що таке похідна від x ^ (1 / x)?

Відповідь:

# dy / dx = x ^ (1 / x) ((1-lnx) / x ^ 2) #

Пояснення:

У цих ситуаціях, коли функція підвищується до функції функції, ми будемо використовувати логарифмічну диференціацію та неявну диференціацію таким чином:

# y = x ^ (1 / x) #

# lny = ln (x ^ (1 / x)) #

З того, що #ln (a ^ b) = blna #:

# lny = lnx / x #

Диференціювати (лівий бік буде диференційовано неявно):

# 1 / y * dy / dx = (1-lnx) / x ^ 2 #

Вирішіть на # dy / dx #:

# dy / dx = y ((1-lnx) / x ^ 2) #

Згадуючи це # y = x ^ (1 / x) #:

# dy / dx = x ^ (1 / x) ((1-lnx) / x ^ 2) #