Яка довжина дуги (t-3, t + 4) на t в [2,4]?

Відповідь:

# A = 2sqrt2 #

Пояснення:

Формула для параметричної довжини дуги:

# A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2)

Почнемо з пошуку двох похідних:

# dx / dt = 1 # і # dy / dt = 1 #

Це дає, що довжина дуги:

# A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = sqrt2t _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 #

Насправді, оскільки параметрична функція настільки проста (це пряма), нам навіть не потрібна інтегральна формула. Якщо побудувати функцію в графіку, можна просто використати формулу регулярної відстані:

# A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt (4 * 2) = 2sqrt2 #

Це дає нам той же результат, що й інтеграл, що показує, що або метод працює, хоча в цьому випадку я рекомендую графічний метод, оскільки він простіший.