У чому різниця між антидерівативним і інтегральним?

Відмінностей немає, два слова є синонімами.

Це залежить від декількох речей. Який антидерівативний, загальний чи конкретний? який інтеграл визначений або невизначений? І хто ми просимо?

Загальна антидерівативна та невизначена інтеграла:

Багато математиків не розрізняють невизначений інтеграл і загальний антидеревативний. У будь-якому випадку для функції # f # "відповідь" є #F (x) + C # де #F '(x) = f (x) #..

Деякі (наприклад, автор підручника Джеймс Стюарт) роблять відмінність. Те, що Стюарт називає «найзагальнішим» антидеревативним # f #, допускає різні константи при кожному розриві # f #. Наприклад, він би відповів, що найбільш загальний антидереватив Росії # 1 / x ^ 2 # є кусочно визначеною функцією:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # для #x <0 # і # (- 1) / x + C_2 # для #x> 0 #.

Невизначений інтеграл від # f #, при такому лікуванні, завжди є антидерівативним на деякому інтервалі, на якому # f # є безперервним.

Тому #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, де розуміється, що домен обмежений деяким підмножиною або позитивних чи реальних чи дій.

Особливі антидериванти

Особливий антидерев'янний # f # є функцією # F # (а не сімейство функцій), для яких #F '(x) = f (x) #.

Наприклад:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # для #x <0 # і # (- 1) / x + 1 # для #x> 0 #.

є особливим антидервативним препаратом #f (x) = 1 / x ^ 2 #

І:

#G (x) = (- 1) / x-3 # для #x <0 # і # (- 1) / x + 6 # для #x> 0 #.

є іншим конкретним антидервативним препаратом #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Визначені інтеграли

Певний інтеграл Росії # f # від # a # до # b # не є функцією. Це число.

Наприклад:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Для того, щоб ще більше ускладнити справу, цей визначений інтеграл можна знайти, використовуючи Фундаментальну теорему обчислення, частина 2, знаходячи перший / невизначений інтеграл / загальний антидеревативний, а потім роблячи деяку арифметику.)

Ваше питання пов'язане з тим, що було дійсно "ключовим розумінням" у розвитку обчислення Ісааком Ньютоном та Готфрідом Лейбніцем.

Зосереджуючись на функціях, які ніколи не є негативними, це розуміння можна сформулювати так: «Антидорівателі можуть бути використані знайти можуть бути використані області (інтеграли) і області (інтеграли) define Це суть Фундаментальної теореми обчислення.

Не хвилюючись про суми Рімана (зрештою, Бернхард Ріман залишився майже 200 років після Ньютона і Лейбніца) і взяв поняття області як інтуїтивну (невизначену) концепцію, для безперервної неотрицательной функції #f (x) за всіх # x # с # x leq b #, просто подумайте про певний інтегральний символ # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # як представляє область під графіком # f # і вище # x #-аксі між # x = a # і # x = b #. Якщо функція інша # F # можна знайти так, що #F '(x) = f (x) # за всіх # x leq b #, потім # F # називається антидерівативним з # f # протягом інтервалу # a, b # і різниця #F (b) -F (a) # дорівнює значенню певного інтеграла. Це, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Цей факт корисний для знахідка значення певного інтеграла (області), коли можна знайти формулу для антидерівативної.

І навпаки, якщо зробити верхню межу інтегрального символу змінною, назвемо її # t #і визначити функцію # F # за формулою #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (тому #F (t) # це дійсно область під графіком # f # між ними # x = a # і # x = t #, припускаючи t t t), потім ця нова функція # F # є чітко визначеною, диференційованою і #F '(t) = f (t) # для всіх номерів # t # між ними # a # і # b #. Ми використали інтеграл до define антидереватив # f #. Цей факт є корисним для апроксимації значень антидерівативних, коли не знайдено жодної формули для цього (використовуючи методи чисельного інтегрування, як правило Сімпсона). Наприклад, його використовують статистики, коли апроксимують області під кривою Normal. Значення спеціальної антидерівативної стандартної кривої Нормально часто наводяться в таблиці в статистичних книгах.

У тому випадку, де # f # має негативні значення, певний інтеграл необхідно розглядати в термінах "підписані області".