Відповідь:
# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #
Пояснення:
Проведення …
Дозволяє # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #
# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #
# => sqrt (3) / 2 du = dx #
# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #
# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #
# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #
Використовуючи антидеревативні засоби, які потрібно вкласти в пам'ять …
# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #
# => u = (2x-1) / sqrt3 #
# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #
Це складний маленький інтеграл, і рішення на перший погляд не буде очевидним. Оскільки це є часткою, ми можемо спробувати розглянути метод часткової фракції, але швидкий аналіз показує, що це неможливо, оскільки # x ^ 2-x + 1 # не є фактором.
Ми постараємося довести цей інтеграл до форми, яку ми можемо реально інтегрувати. Зверніть увагу на подібність між ними # int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # і # int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; ми знаємо, що останній інтеграл оцінюється в # arctanx + C #. Тому ми спробуємо отримати # x ^ 2-x + 1 # у формі #k (x-a) ^ 2 + 1 #, а потім застосуйте # arctanx # правило.
Ми повинні будемо завершити квадрат на # x ^ 2-x + 1 #:
# x ^ 2-x + 1 #
# = x ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #
# = (x-1/2) ^ 2 + 3/4 #
# = (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #
# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #
# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #
(дуже брудний, я знаю)
Тепер, коли ми маємо її в бажаній формі, ми можемо діяти так:
# int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #
# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #
# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #
# = 4/3 * (sqrt (3) / 2арктан ((2x-1) / sqrt (3))) + C #
# = (2арктан ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #
