Що таке інтеграл sqrt (9-x ^ 2)?

Коли я бачу такі функції, я розумію (практикуючи багато), що ви повинні використовувати спеціальну заміну тут:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Це може виглядати як дивна заміна, але ви побачите, чому ми це робимо.

#dx = 3cos (u) du #

Замінити everyhting на інтеграл:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Ми можемо вивести 3 з інтеграла:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9 сiн ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Ви можете розраховувати 9 на:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Ми знаємо ідентичність: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Якщо ми вирішимо # cosx #, ми отримуємо:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Це саме те, що ми бачимо в інтегралі, тому ми можемо його замінити:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Ви, можливо, знаєте, що це є основним антидерівативним, але якщо ви цього не зробите, ви можете зрозуміти це так:

Ми використовуємо ідентифікацію: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (Ви можете вирішити це шляхом заміни)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Тепер, все, що нам потрібно зробити, це поставити # u # у функцію. Давайте поглянемо назад на те, як ми його визначили:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = sin (u) #

Отримати # u # З цього ви повинні прийняти зворотну функцію # sin # з обох сторін, це # arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Тепер нам потрібно вставити його в наше рішення:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

Це остаточне рішення.