Що таке інтеграл int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Відповідь:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Пояснення:

Наша велика проблема в цьому інтегралі - корінь, тому ми хочемо її позбутися. Ми можемо зробити це шляхом введення заміни # u = sqrt (2x-1) #. Похідна є тоді

# (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Таким чином, ми ділимося на (і запам'ятовуємо, розділяючи на взаємність те ж саме, що множимо тільки на знаменник), щоб інтегруватися по відношенню до # u #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) скасування (sqrt (2x-1)) = int t

Тепер все, що нам потрібно зробити, це висловити # x ^ 2 # з точки зору # u # (оскільки ви не можете інтегруватися # x # з повагою до # u #):

# u = sqrt (2x-1) #

# u ^ 2 = 2x-1 #

# u ^ 2 + 1 = 2x #

# (u ^ 2 + 1) / 2 = x #

# x ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Ми можемо включити це назад у наш інтеграл, щоб отримати:

(u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1

Це можна оцінити, використовуючи правило зворотної потужності:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Повторне встановлення # u = sqrt (2x-1) #, ми отримуємо:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Що таке інтеграл int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Спочатку підставимо: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du друга заміна: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2) -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Split з використанням часткових часток: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Тепер маємо: -1 / (2 (v

Що таке (sqrt (5+) sqrt (3)) / (sqrt (3+) sqrt (3+) sqrt (5)) - (sqrt (5-) sqrt (3)) / (sqrt (3+) sqrt (3-) sqrt (5))?

2/7 Ми беремо, A = (sqrt5 + sqrt3) / (sqrt3 + sqrt3 + sqrt5) - (sqrt5-sqrt3) / (sqrt3 + sqrt3-sqrt5) = (sqrt5 + sqrt3) / (2sqrt3 + sqrt5) - (sqrt5) -sqrt3) / (2sqrt3-sqrt5) = (sqrt5 + sqrt3) / (2sqrt3-sqrt5) = ((sqrt5 + sqrt3) (2sqrt3-sqrt5) - (sqrt5-sqrt3) ) (2sqrt3 + sqrt5) (2sqrt3 + sqrt5) (2sqrt15-5 + 2 * 3-sqrt15) - (2sqrt15 + 5-2 * 3-sqrt15)) / ((2sqrt3) ^ 2- (sqrt5) ^ 2) = (скасувати (2sqrt15) -5 + 2 * 3повернути (-sqrt15) - скасувати (2sqrt15) -5 + 2 * 3 + скасувати (sqrt15)) / (12-5) = ( -10 + 12) / 7 = 2/7 Зверніть увагу, що якщо в знаменниках є (sqrt3 + sqrt (3 + sqrt5)) і (sqrt3 + sqrt (3-sqrt5)), відповідь буд

Що таке інтеграл int (sec ^ 2x) / sqrt (4-sec ^ 2x) dx?

Відповідь на це питання = sin ^ (- 1) (tanx / sqrt3) Для цього візьміть tanx = t, тоді sec ^ 2x dx = dt Також sec ^ 2x = 1 + tan ^ 2x Встановивши ці значення в початкове рівняння, отримаємо intdt / (sqrt (3-t ^ 2)) = sin ^ (- 1) (t / sqrt3) = sin ^ (- 1) (tanx / sqrt3) Сподіваюся, що це допоможе !!