Що таке рішення диференціального рівняння dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Відповідь:

Загальне рішення:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Пояснення:

Ми маємо:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Ми можемо збирати терміни для подібних змінних:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Який роздільний перший порядок звичайного нелінійного диференціального рівняння, так що ми можемо "розділити змінні" отримати:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Обидва інтеграли належать до стандартних функцій, тому ми можемо використовувати ці знання для безпосередньої інтеграції:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

І ми можемо легко переставити # y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Ведучий до загального рішення:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Відповідь:

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Пояснення:

Це розділене диференціальне рівняння, що означає, що його можна записати у вигляді:

# dy / dx * f (y) = g (x) #

Це можна вирішити шляхом інтеграції обох сторін:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

У нашому випадку спочатку потрібно розділити інтеграл на правильну форму. Ми можемо це зробити, розділивши обидві сторони на # (y-1) ^ 2 #:

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Тепер ми можемо інтегрувати обидві сторони:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Ми можемо вирішити інтеграл лівої руки з заміною # u = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

# u ^ -2 d = e ^ t + C_1 #

# u ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Повторне встановлення (і об'єднання констант) дає:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Помножте обидві сторони на # y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Розділіть обидві сторони на # e ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #