Що таке загальне рішення диференціального рівняння y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "Рівняння характеристик:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "АБО" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "диск квад. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "тому ми маємо два складних рішення, вони" # #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Таким чином, загальним рішенням однорідного рівняння є:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "Особливе рішення для повного рівняння" #

# "y = x," #

# "Це легко побачити" #.

# "Таким чином, повне рішення:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Відповідь:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Пояснення:

Ми маємо:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Або, альтернативно:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Це третій порядок лінійного неоднорідного диференціювання рівняння з постійними коефіцієнтами. Стандартний підхід - знайти рішення, # y_c # однорідного рівняння, розглядаючи допоміжне рівняння, яке є поліноміальним рівнянням з коефіцієнтами похідних, а потім знаходимо незалежне конкретне рішення, # y_p # неоднорідного рівняння.

Корені допоміжного рівняння визначають частини рішення, які, якщо лінійно незалежні, то суперпозиція рішень утворює повне загальне рішення.

• Реальні чіткі корені # m = alpha, beta, … # дасть лінійно незалежні рішення виду # y_1 = Ae ^ (alphax) #, # y_2 = Будьте ^ (betax) #, …
• Реальні повторювані корені # m = alpha #, дасть рішення форми # y = (Ax + B) e ^ (alphax) # де поліном має таку ж ступінь, що і повтор.
• Складні коріння (які повинні відбуватися як сполучені пари) # m = p + -qi # вийде пара лінійно незалежних рішень виду # y = e ^ (px) (Acos (qx) + bsin (qx)) #

Конкретне рішення

Для того, щоб знайти конкретне рішення неоднорідного рівняння:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) t с #f (x) = 4 # ….. C

тоді як #f (x) # є поліномом ступеня #0#ми шукали б поліноміальний розв'язок того самого ступеня, тобто форми #y = a #

Однак таке рішення вже існує в розчині КФ і тому має розглядати потенційне рішення форми # y = ax #, Де константи # a # визначається прямим заміщенням і порівнянням:

Диференціювання # y = ax # wrt # x # ми отримуємо:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Підставивши ці результати в DE A, отримаємо:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

І тому ми формуємо конкретне рішення:

# y_p = x #

Загальне рішення

Що потім веде до GS A

# y (x) = y_c + y_p #

= A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Зверніть увагу на це рішення #3# константи інтеграції і #3# лінійно незалежні розв'язки, отже, за теоремою про існування і єдиності їх суперпозиції є загальним рішенням