Як ви знайдете поліном Тейлора третього ступеня для f (x) = ln x, центрований на a = 2?

Відповідь:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Пояснення:

Загальна форма розширення Тейлора по центру # a # аналітичної функції # f # є #f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)) (a) / (n!) (x-a) ^ n #. Тут #f ^ ((n)) # є n-й похідною Росії # f #.

Поліном Тейлора третього ступеня є поліном, що складається з перших чотирьох (# n # від #0# до #3#) терміни повного розширення Тейлора.

Тому цей поліном є #f (a) + f '(a) (x-a) + (f' '(a)) / 2 (x-a) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (x-a) ^ 3 #.

#f (x) = ln (x) #отже #f '(x) = 1 / x #, #f '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. Таким чином, поліном Тейлора третього ступеня:

#ln (a) + 1 / a (x-a) -1 / (2a ^ 2) (x-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

Тепер у нас є # a = 2 #, тому ми маємо поліном:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Поліном ступеня 4, P (x) має корінь кратності 2 при x = 3 і коріння кратності 1 при x = 0 і x = -3. Він проходить через точку (5,112). Як знайти формулу для P (x)?

Поліном ступеня 4 матиме кореневу форму: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Підставляйте в значення для коренів, а потім використовуйте точку, щоб знайти значення k. Підставляємо в значення для коренів: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Використовуємо точку (5,112), щоб знайти значення k: 112 = k (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8)) k = 7/10 Корінь з полінома: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

Поліном ступеня 5, P (x) має провідний коефіцієнт 1, має коріння кратності 2 при x = 1 і x = 0, а корінь кратності 1 при x = -3, як можна знайти можливу формулу для P (x)?

P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Кожен корень відповідає лінійному фактору, тому ми можемо писати: P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x +3) = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Будь-який поліном з цими нулями і принаймні ці кратність буде кратна (скалярна або поліноміальна) цієї P (x) виноски Строго кажучи, значення x, яке приводить до P (x) = 0, називається коренем P (x) = 0 або нулем P (x). Отже, питання повинно було б говорити про нулі P (x) або про корені P (x) = 0.

Коли поліном ділиться на (x + 2), залишок становить -19. Коли той самий поліном ділиться на (x-1), залишок дорівнює 2, як визначити залишок, коли поліном ділиться на (x + 2) (x-1)?

Відомо, що f (1) = 2 і f (-2) = - 19 з теореми рештки Тепер знайдемо залишок полінома f (x), коли ділимо на (x-1) (x + 2). форма Ax + B, тому що це залишок після ділення на квадратичне. Тепер ми можемо помножити дільник на частоту Q ... f (x) = Q (x-1) (x + 2) + Ax + B Далі, вставити 1 і -2 для x ... f (1) = Q (1-1) (1 + 2) + A (1) + B = A + B = 2 f (-2) = Q (-2-1) (- 2 + 2) + A (-2) + B = -2A + B = -19 Розв'язуючи ці два рівняння, отримаємо A = 7 і B = -5 Залишок = Ax + B = 7x-5