Обчислення

Функція не має локальних екстремумів. f '(x) = 7/2 (x + 1) ^ 6 ніколи не визначено і дорівнює 0 тільки при x = -1. Отже, єдиним критичним числом є -1. Оскільки f '(x) позитивний з обох сторін -1, f не має мінімуму і максимуму при -1. Докладніше »

(0, -1) Локальні екстремуми мають місце, коли f '(x) = 0. Отже, знайдемо f '(x) і встановимо його рівним 0. f' (x) = 2x 2x = 0 x = 0 Є локальний екстремум у (0, -1). Перевірте графік: графік {x ^ 2-1 [-10, 10, -5, 5]} Докладніше »

Ця функція не має локальних екстремумів. У локальному екстремумі ми повинні мати f праймер (x) = 0 Тепер, f prime (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x + 8 Розглянемо, чи може це зникнути. Щоб це сталося, значення g (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x повинно бути дорівнює -8. Оскільки g prime (x) = (x ^ 2 + 10x + 11) e ^ x, то екстремуми g (x) знаходяться в точках, де x ^ 2 + 10x + 11 = 0, тобто при x = -5 pm sqrt {14}. Оскільки g (x) до infty і 0 як x to pm infty відповідно, то легко бачити, що мінімальне значення буде при x = -5 + sqrt {14}. Ми маємо g (-5 + sqrt {14}) ~~ -1.56, так що мінімальне значення f prime (x) ~~ 6.44 - так що в Докладніше »

Параболи мають рівно один екстремум, вершину. Це (-4 1/2, -19 1/4). Оскільки {d ^ 2 f (x)} / dx = 2, то всюди функція скрізь увігнута і ця точка повинна бути мінімальною. Ви маєте два корені для пошуку вершини параболи: одна, використовуйте обчислення, щоб знайти, що похідна дорівнює нулю; два, уникайте числення будь-якою ціною і просто завершіть площу. Ми будемо використовувати обчислення для практики. f (x) = x ^ 2 + 9x + 1, треба взяти похідну від цього. {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) За лінійністю похідної маємо {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1). Використовуючи правило потужност Докладніше »

Локальні екстремуми: x ~ ~ -1.15 x = 0 x ~~ 1.05 Знайти похідну f '(x) Set f' (x) = 0 Це ваші критичні значення та потенційні локальні екстремуми. Намалюйте рядок з цими значеннями. Підключайте значення в межах кожного інтервалу; якщо f '(x)> 0, функція зростає. якщо f '(x) <0, функція зменшується. Коли функція змінюється з негативної на позитивну і є неперервною в цій точці, є місцевий мінімум; і навпаки. f '(x) = [(3x ^ 2 + 4x) (3-5x) - (- 5) (x ^ 3 + 2x ^ 2)] / (3-5x) ^ 2 f' (x) = [9x ^ 2-15x ^ 3 + 12x-20x ^ 2 + 5x ^ 3 + 10x ^ 2] / (3-5x) ^ 2 f '(x) = (- 10x ^ 3-x ^ 2 + 12x) / (3 -5x) ^ Докладніше »

X = 0, -4/3 Знайти похідну від f (x) = x ^ 2 (x + 2). Вам доведеться використовувати правило продукту. f '(x) = x ^ 2 + (x + 2) 2x = x ^ 2 + 2x ^ 2 + 4x = 3x ^ 2 + 4x f' (x) = x (3x + 4) Набір f '(x) дорівнює нулю для знаходження критичних точок. x = 0 3x + 4 = 0 rarr x = -4 / 3 f (x) має локальні екстремуми при x = 0, -4/3. OR f (x) має локальні екстремуми в точках (0, 0) і (-4/3, 32/27). Докладніше »

Функція має 2 екстремуми: f_ {max} (- 2) = 18 і f_ {min} (2) = - 14 Ми маємо функцію: f (x) = x ^ 3-12x + 2 Щоб знайти екстремуми, ми обчислимо похідну f '(x) = 3x ^ 2-12 Першою умовою знаходження крайніх точок є те, що такі точки існують тільки там, де f' (x) = 0 3x ^ 2-12 = 0 3 (x ^ 2-4) = 0) 3 (x-2) (x + 2) = 0 x = 2 vv x = -2 Тепер ми повинні перевірити, чи похідна змінює знак у розрахункових точках: граф {x ^ 2-4 [-10, 10, - 4.96, 13.06]} З графіка можна бачити, що f (x) має максимум для x = -2 і мінімальний для x = 2. Остаточним кроком є обчислення значень f (-2) і f (2) Докладніше »

X ^ 3-3x + 6 має локальні екстремуми при x = -1 і x = 1 Локальні екстремуми функції відбуваються в точках, де перша похідна функції дорівнює 0 і знак першої похідної змінюється. Тобто, для x де f '(x) = 0 і або f' (x-varepsilon) <= 0 і f '(x + varepsilon)> = 0 (локальний мінімум) або f' (x-varepsilon)> = 0 і f '(x + varepsilon) <= 0 (локальний максимум) Для знаходження локальних екстремумів необхідно знайти точки, де f' (x) = 0. f '(x) = 3x ^ 2 - 3 = 3 (x ^ 2 - 1) = 3 (x + 1) (x-1), так f '(x) = 0 <=> 3 (x + 1) (x-1) = 0 <=> x = + -1 Дивлячись на знак f 'отримуємо Докладніше »

Максимум = 19 при x = -1 Мінімум = -89 atx = 5> f (x) = x ^ 3-6x ^ 2-15x + 11 Щоб знайти локальні екстремуми, спочатку знайдіть критичну точку f '(x) = 3x ^ 2-12x-15 Набір f '(x) = 0 3x ^ 2-12x-15 = 0 3 (x ^ 2-4x-5) = 0 3 (x-5) (x + 1) = 0 x = 5 або x = -1 - критичні точки. Потрібно виконати другий похідний тест f ^ ('') (x) = 6x-12 f ^ ('') (5) = 18> 0, так що f досягає свого мінімуму при x = 5 і мінімальне значення f (5) = - 89 f ^ ('') (- 1) = -18 <0, так що f досягає свого максимуму при x = -1, а максимальне значення f (-1) = 19 Докладніше »

Дана функція має точку мінімумів, але, безумовно, не має точки максимумів. Дана функція: f (x) = (x ^ 3-4x ^ 2-3) / (8x-4) При дифференціації, f '(x) = (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1) ^ 2) Для критичних точок треба встановити, f '(x) = 0. має на увазі (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1) ) ^ 2) = 0 означає x ~~ -0.440489 Це точка екстремумів. Щоб перевірити, чи функція досягає максимумів або мінімумів на цьому конкретному значенні, ми можемо виконати другий похідний тест. f '' (x) = (4x ^ 3-6x ^ 2 + 3x-16) / (2 * (2x-1) ^ 3) f '' (- 0,44)> 0 Оскільки друга похідна позитивна в цій точці Ц Докладніше »

Однією критичною точкою справжнього числа цієї функції є x приблизно -9.01844. У цьому місці відбувається місцевий мінімум. За умовою коефіцієнта, похідною цієї функції є f '(x) = ((x + 6) * 3x ^ 2- (x ^ 3-3) * 1) / ((x + 6) ^ 2) = ( 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3) / ((x + 6) ^ 2) Ця функція дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3 = 0. Коріння цього кубіка включають в себе негативне ірраціональне (реальне) число і два комплексних числа. Справжній корінь - х приблизно -9.01844. Якщо ви підключите число, що менше, ніж це, у f ', ви отримаєте негативний висновок, і якщо ви підключите число, що перевищує це ч Докладніше »

(0.14414, 0.05271) є локальним максимумом (1.45035, 0.00119) і (-1.59449, -1947.21451) місцевими мінімумами. . f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - оо,:. x = oo Це не кваліфікується як локальний екстремум. 3x ^ 3-7x + 1 = 0 Щоб вирішити для коренів цієї кубічної функції, скористаємося методом Ньютона-Рафсона: x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) ітераційний процес, який приведе нас ближче і ближче до кореня функції. Я не включаю тут тривалий процес, але, досягнувши першо Докладніше »

F_min = f (1) = 0 f_max = f (e ^ (- 2)) приблизно 0,541 f (x) = (xlnx) ^ 2 / x = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x = x ( lnx) ^ 2 Застосування правила продукту f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 = (lnx) ^ 2 + 2lnx Для локальних максимумів або мінімумів: f' (x) = 0 Нехай z = lnx:. z ^ 2 + 2z = 0 z (z + 2) = 0 -> z = 0 або z = -2 Отже, для локального максимуму або мінімуму: lnx = 0 або lnx = -2: .x = 1 або x = e ^ -2 приблизно 0,135 Тепер розглянемо графік x (lnx) ^ 2 нижче. graph {x (lnx) ^ 2 [-2.566, 5.23, -1.028, 2.87]} Можна спостерігати, що спрощений f (x) має локальний мінімум при x = 1 і локальний максимум при Докладніше »

За графічним методом локальний максимум становить 1.365, майже на поворотній точці (-0.555, 1.364), майже. Крива має асимптоту y = 0 larr, вісь x. Наближення до точки повороту (-0.555, 1.364) були отримані рухомими лініями, паралельними осям, щоб зустрітися в зеніті. Як показано на графіку, можна довести, що при x до -oo, y до 0 і, як x до oo, y до -oo #. графік {(1 / sqrt (x ^ 2 + e ^ x) -xe ^ x-y) (y-1.364) (x + .555 + .001y) = 0 [-10, 10, -5, 5]} Докладніше »

Ми маємо максимуми при x = 0 As f (x) = - 2x ^ 2 + 9, f '(x) = - 4x As f' (x) = 0 для x = 0, тому ми маємо локальний екстремум при x = -9 / 4 Далі, f '' (x) = - 4 і, отже, при x = 0, маємо максимуми при x = 0 графіку {-2x ^ 2 + 9 [-5, 5, -10, 10] } Докладніше »

Місцевих екстремумів немає. Місцеві екстремуми можуть виникати, коли f '= 0 і коли f' перемикається з позитивного на негативний або навпаки. f (x) = x ^ -1-x ^ -3 + x ^ 5-x f '(x) = - x ^ -2 - (- 3x ^ -4) + 5x ^ 4-1 множення на x ^ 4 / x ^ 4: f '(x) = (- x ^ 2 + 3 + 5x ^ 8-x ^ 4) / x ^ 4 = (5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 Місцеві екстремуми можуть відбуватися, коли f '= 0. Оскільки ми не можемо вирішити, коли це відбувається алгебраїчно, давайте граф f ': f' (x): графік {(5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 [-5, 5, -10.93, 55]} f 'не має нулів. Таким чином, f не має екстремумів. Ми можемо переві Докладніше »

Локальні екстремуми є -2sqrt (6) при x = -sqrt (3/2) і 2sqrt (6) при x = sqrt (3/2) Місцеві екстремуми розташовані в точках, де перша похідна функції оцінюється до 0. Таким чином, щоб знайти їх, ми спочатку знайдемо похідну f '(x), а потім вирішимо для f' (x) = 0. f '(x) = d / dx (2x + 3 / x) = (d / dx2x) ) + d / dx (3 / x) = 2 - 3 / x ^ 2 Далі, вирішуючи для f '(x) = 0 2-3 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2 = 3/2 => x = + -sqrt (3/2) Таким чином, оцінюючи початкову функцію в цих точках, отримуємо -2sqrt (6) як локальний максимум у x = -sqrt (3/2) і 2sqrt (6) як локальний мінімум у x = sqrt (3/2) Докладніше »

Мінімум f: 38.827075 при x = 4.1463151 та інший для негативного x. Я б відвідав тут найближчим часом, з іншим мінімумом. По суті, f (x) = (біквадратичний в х) / (х-1) ^ 2. Використовуючи метод часткових дробів, f (x) = x ^ 2 + 3x + 4 + 3 / (x-1) + 42 / (x-1) ^ 2 Ця форма показує асимптотичну параболу y = x ^ 2 + 3x +4 і вертикальна асимптота x = 1. У x до + -оо, f до оо. Перший графік показує параболічну асимптоту, яка лежить низько. Другий показує графік ліворуч від вертикальної асимптоти, x = 1, а третій - для правого боку. Вони належним чином масштабуються, щоб виявити локальні мінімуми f = 6 і 35, практично за допомого Докладніше »

F_ (хв) = f (1/4 + 2 ^ (- 5/3)) = (2 ^ (2/3) + 3 + 2 ^ (5/3)) / 4. Зауважимо, що f (x) = 4x ^ 2-2x + x / (x-1/4); x в RR- {1/4}. = 4x ^ 2-2x + 1 / 4-1 / 4 + {(х-1/4) +1/4} / (х-1/4); xne1 / 4 = (2x-1/2) ^ 2-1 / 4 + {(x-1/4) / (x-1/4) + (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4 = 4 (x-1/4) ^ 2-1 / 4 + {1+ (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4:. f (x) = 4 (x-1/4) ^ 2 + 3/4 + (1/4) / (x-1/4); xne1 / 4. Тепер для локальних екстремумів f '(x) = 0, і, f' '(x)> або <0, "відповідно" f_ (min) або f_ (max), "resp." f '(x) = 0 rArr 4 {2 (x-1/4)} + 0 + 1/4 {(- 1) / (x-1/4) ^ 2} = 0 ... (ast) rArr 8 (х-1/4) = 1 / {4 (х Докладніше »

Я припускаю, що або є помилка, або це питання «трюка». 1 ^ x = 1 для всіх x, тому ln1 ^ 1 = ln1 = 0 Отже, f (x) = e ^ xln1 ^ x = e ^ x * 0 = 0 для всіх x. f - постійна. Мінімум і максимум f є одночасно 0. Докладніше »

Подивимося. Нехай функція y. : .y = f (x) = e ^ (x ^ 2) -x ^ 2e ^ x. Тепер знайдіть dy / dx і (d ^ 2y) / dx ^ 2. Тепер виконайте деякі кроки, наведені у наступному URL rarr http://socratic.org/questions/what-are-the-extrema-of-f-x-3x-2-30x-74-on-oo-oo. Сподіваюся, що це допоможе :) Докладніше »

При x = pi / 2 f '' (x) = - 1 ми маємо локальний максимум, а при x = 3pi / 2, f '' (x) = 1 маємо локальний мінімум. Максимум - це висока точка, до якої функція підвищується, а потім знову падає. Як такий, нахил дотичної або величина похідної в цій точці буде дорівнювати нулю. Далі, оскільки дотичні ліворуч від максимумів будуть нахилятися вгору, то сплющення, а потім нахил вниз, нахил дотичної буде постійно зменшуватися, тобто значення другої похідної буде негативним. З іншого боку, мінімуми - це низька точка, до якої функція падає, а потім знову піднімається. У такому випадку дотична або величина похідної Докладніше »

Близько + -1.7. Див. Графік, який дає таке наближення. Пізніше я спробую дати більш точні значення. Перший графік показує асимптоти x = 0, + -pi / 2 + -3 / 2pi, + -5 / 2pi, .. Зверніть увагу, що tan x / x ^ 2 = (1 / x) (tanx / x) має limit + -oo, як x до 0 _ + - Другий (не в масштабі ad hoc) графік наближає локальні екстремуми до + -1.7. Пізніше я покращу їх. Глобальних екстремумів немає. граф {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-20, 20, -10, 10]} графік {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-2, 2, -5, 5] ]} Докладніше »

X = 1.763 Візьмемо похідну lnx / e ^ x за допомогою факторного правила: f '(x) = ((1 / x) e ^ x-ln (x) (e ^ x)) / e ^ (2x) ae ^ x зверху і перемістіть його до знаменника: f '(x) = ((1 / x) -ln (x)) / e ^ x Знайти, коли f' (x) = 0 Це відбувається лише тоді, коли чисельник 0: 0 = (1 / x-ln (x)) Для цього вам знадобиться калькулятор графіків. x = 1.763 Підключення числа до 1.763 дасть вам позитивний результат, а підключення числа вище 1.763 дасть негативний результат. Таким чином, це локальний максимум. Докладніше »

Мінімуми (0, 0) Максима (-4/3, 1 5/27) Дано- y = x ^ 2 (x + 2) y = x ^ 3 + 2x ^ 2 dy / dx = 3x ^ 2 + 4x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6x + 4 dy / dx = 0 => 3x ^ 2 + 4x = 0 x (3x + 4) = 0 x = 0 3x + 4 = 0 x = -4 / 3 x = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6 (0) + 4 = 4> 0 При x = 0; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2)> 0 Отже, функція має мінімуми при x = 0 при x = 0, y = (0) ^ 2 (0 + 2) = 0 Мінімуми ( 0, 0) При х = -4 / 3; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6 (-4/3) + 4 = -4 <0 При x = -4; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) <0 Отже, функція має максимуми при x = -4 / 3 при x = -4 / 3; y = (- 4/3) ^ 2 (-4 / 3 + 2) = 1 5/27 Maxima (-4/3, 1 5/27) Докладніше »

Локальний максимум - 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 Місцевий мінімум - 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 Щоб знайти локальні екстремуми, можна використати перший похідний тест. Ми знаємо, що при локальних екстремумах, принаймні, перша похідна функції буде дорівнює нулю. Отже, візьмемо першу похідну, встановимо її рівною 0 і вирішимо для x. f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13 f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 Це рівність можна легко вирішити за допомогою квадратичного формула. У нашому випадку a = -3, b = 6 і c = 10 Квадратична формула вказує: x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) Якщо повернути наші значення в квадрати Докладніше »

MAX (0; 0) і MIN (-10 / 3,20 / 29) Обчислюємо f '(x) = - x (3x + 10) / (x ^ 2-3x-5) ^ 2 f' '(x ) = 2 (3x ^ 2 + 15x ^ 2 + 25) / (x ^ 2-3x-5) ^ 3, так що f '(x) = 0, якщо x = 0 або x = -10 / 3 ми маємо далі f' '(0) = - 2/5 <0 і f' '(- 10/3) = 162/4205> 0 Докладніше »

X = -5 f (x) = [(x-2) (x-4) ^ 3] / (x ^ 2-2) x ^ 2-2 = (x + 2) (x-2) Отже, функція стає: f (x) = [(x-4) ^ 3] / (x + 2) Тепер f '(x) = d / dx [(x-4) ^ 3] / (x + 2) f' (x) = [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 Для точки локального екстремуму f '(x) = 0 Так [3 ( x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 = 0 [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] = 0 3 (x + 2) (x-4) ^ 2 = (x-4) ^ 3 3x + 6 = x-4 2x = -10 x = -5 Докладніше »

Відносний максимум: (-1, 6) відносний мінімум: (3, -26) Враховуючи: f (x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 - 9x + 1 Знайти критичні числа шляхом знаходження першої похідної і встановлення її рівною нуль: f '(x) = 3x ^ 2 -6x - 9 = 0 Фактор: (3x + 3) (x -3) = 0 Критичні числа: x = -1, "" x = 3 Використовуйте другий похідний тест з'ясувати, чи є ці критичні числа відносними максимумами або відносними мінімумами: f '' (x) = 6x - 6 f '' (- 1) = -12 <0 => "відносно max при" x = -1 f '' ( 3) = 12> 0 => "відносна мін при" x = 3 f (-1) = (-1) ^ 3 - 3 (-1) ^ 2 - 9 (-1) + 1 = Докладніше »

1 + -2sqrt (3) / 3 Поліном є безперервним і має безперервну похідну, тому екстремуми можна знайти, прирівнявши функцію похідної до нуля і вирішивши отримане рівняння. Похідна функція 3x ^ 2-6x-1 і має корені 1 + -sqrt (3) / 3. Докладніше »

Точки повороту (локальні екстремуми) виникають, коли похідна функції дорівнює нулю, тобто коли f '(x) = 0. тобто, коли 3x ^ 2-7 = 0 => x = + - sqrt (7/3). оскільки друга похідна f '' (x) = 6x, а f '' (sqrt (7/3))> 0 і f '' (- sqrt (7/3)) <0, це означає, що sqrt (7 / 3) є відносним мінімумом і -sqrt (7/3) є відносним максимумом. Відповідні значення y можуть бути знайдені шляхом заміни у вихідне рівняння. Графік функції робить перевірку наведених вище розрахунків. графік {x ^ 3-7x [-16.01, 16.02, -8.01, 8]} Докладніше »

(0,15), (4, -17) Локальний екстремум, або відносний мінімум або максимум, відбудеться, коли похідна функції дорівнює 0. Отже, якщо знайти f '(x), то можна встановити його рівним до 0. f '(x) = 3x ^ 2-12x Встановіть його рівним 0. 3x ^ 2-12x = 0 x (3x-12) = 0 Встановіть кожну частину рівною 0. {(x = 0), ( 3x-12 = 0rarrx = 4):} Екстремуми відбуваються при (0,15) і (4, -17). Подивіться на них на графіку: граф {x ^ 3-6x ^ 2 + 15 [-42,66, 49,75, -21,7, 24,54]} Екстремуми, або зміни в напрямку, знаходяться в (0,15) і (4, - 17). Докладніше »

F (x) _max = (1.37, 8.71) f (x) _min = (4.63, -8.71) f (x) = x ^ 3-9x ^ 2 + 19x-3 f '(x) = 3x ^ 2-18x +19 f '' (x) = 6x-18 Для локальних максимумів або мінімумів: f '(x) = 0 Таким чином: 3x ^ 2-18x + 19 = 0 Застосовуючи квадратичну формулу: x = (18 + -sqrt (18) ^ 2-4xx3xx19)) / 6 x = (18 + -sqrt96) / 6 x = 3 + -2 / 3sqrt6 x ~ = 1.367 або 4.633 Для тестування на локальний максимум або мінімум: f '' (1.367) <0 -> Локальний максимум f '' (4.633)> 0 -> Локальний мінімум f (1.367) ~ = 8.71 Локальний максимум f (4.633) ~ = -8.71 Локальний мінімум Ці локальні екстремуми можна побачити н Докладніше »

F (x) має локальний максимум при прибл. (0.1032, 15.0510) f (x) має локальний мінімум при прибл. (3.2301, -0.2362) f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) Застосувати правило продукту. f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5). f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 = 3x ^ 2-10x +1 Для локальних екстремумів f '(x) = 0 Отже, 3x ^ 2-10x + 1 = 0 Застосуємо квадратичну формулу. x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1)) / (2 * 3) = (10 + -sqrt (88)) / 6 приблизно 3.2301 або 0.1032 f '' (x ) = 6x-10 Для локального максимуму f '' <0 в крайній точці. Для лок Докладніше »

X_1 = -1 - це максимум x_2 = 1 - це мінімум Спочатку знайдіть критичні точки, прирівнявши першу похідну до нуля: f '(x) = 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 = 0 Як x! = 0 можна помножити на x ^ 2 3x ^ 4-x ^ 2-3 = 0 x ^ 2 = frac (1 + -sqrt (1 + 24)) 6 так x ^ 2 = 1, оскільки інший корінь є негативним, а x = + - 1 Тоді розглянемо знак другої похідної: f '' (x) = 6x + 6 / x ^ 3 f '' (- 1) = -12 <0 f '' (1) = 12> 0, так що: x_1 = -1 - це максимум x_2 = 1 - мінімальний графік {x ^ 3-x + 3 / x [-20, 20, -10, 10] } Докладніше »

Локальний максимум ~~ -0.794 (при x ~ ~ -0.563) і локальні мінімуми ~ 18.185 (при x ~ -3.107) і ~~ -2.081 (при x ~ 0.887) f '(x) = (2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2-8x-12) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 2 Критичні числа - це рішення для 2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2 -8x-12 = 0. У мене немає точних рішень, але з використанням чисельних методів знайду реальні рішення приблизно: -3.107, - 0.563 і 0.887 f '' (x) = (2x ^ 9-18x ^ 7 + 14x ^ 6 + 108x ^ 5-426x ^ 4 + 376x ^ 3 + 72x ^ 2 + 96x-104) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 3 Застосувати другий тест похідної: f '' (- 3.107)> 0, так f (-3.107) ~ ~ 18.185 є локальним мінімум Докладніше »

(1, e ^ -1) Необхідно використовувати правило продукту: d / dx (uv) = u (dv) / dx + v (du) / dx:. f '(x) = xd / dx (e ^ -x) + e ^ -x d / dx (x):. f '(x) = x (-e ^ -x) + e ^ -x (1):. f '(x) = e ^ -x-xe ^ -x На min / max f' (x) = 0 f '(x) = 0 => e ^ -x (1-x) = 0 Тепер, e ^ x> 0 AA x у RR:. f '(x) = 0 => (1-x) = 0 => x = 1 x = 1 => f (1) = 1e ^ -1 = e ^ -1 Отже, є одна поворотна точка на (1) , e ^ -1) графік {xe ^ -x [-10, 10, -5, 5]} Докладніше »

Ця функція не має локальних екстремумів. f (x) = xlnx-xe ^ x має на увазі g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x Для x - локальний екстремум, g (x) має бути нуль. Тепер ми покажемо, що це не відбувається для будь-якої реальної величини x. Зауважимо, що g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x Таким чином, g ^ '(x) зникне, якщо e ^ x = 1 / (x (x + 2)) Це трансцендентне рівняння, яке можна вирішити чисельно. Оскільки g ^ '(0) = + oo і g ^' (1) = 1-3e <0, корінь лежить між 0 і 1. А оскільки g ^ {''} (0) <0 для всіх позитивних x, це єдини Докладніше »

X_1 = 2.430500874043 і y_1 = -1.4602879768904 Максимальна точка x_2 = -1.0971675407097 і y_2 = -0.002674986072485 Мінімальна точка визначає похідну від f (x) f '(x) = ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1 -x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) / [(x-2) (x-4) ^ 3] ^ 2 прирівнювати до нуля ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1-x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) = 0 спростити (x-2) (x-4) ^ 3-3x (x-2) (x-4) ^ 2-x (x-4) ^ 3 = 0 Факторинг загального терміну (x-4) ^ 2 * [ (x-2) (x-4) -3x (x-2) -x (x-4)] = 0 (x-4) ^ 2 * (x ^ 2-6x + 8-3x ^ 2 + 6x- x ^ 2 + 4x) = 0 (x-4) ^ 2 (-3x ^ 2 + 4x + 8) = 0 Значення x: x = 4 асимптота x_1 = (4 + sqrt (112)) / 6 = Докладніше »

Поліноми дифференцируются всюди, тому шукайте критичні значення, просто знаходячи рішення до f '= 0 f' = 12x ^ 2 + 6x-6 = 0 Використовуючи алгебру для вирішення цього простого квадратичного рівняння: x = -1 і x = 1 / 2 Визначте, чи це мінімальна чи максимальна, підключившись до другої похідної: f '' = 24x + 6 f '' (- 1) <0, так що -1 - це максимум f '' (1/2)> 0, так що 1/2 - це мінімальна надія, яка допомогла Докладніше »

F (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 Ця функція має вертикальну асимптоту при x = 2, наближається до 1 зверху, оскільки x йде до + oo (горизонтальна асимптота) і наближається до 1 знизу, оскільки x виходить до -оо. Всі похідні також не визначені при x = 2. Існує один локальний мінімум при x = 0, y = 0 (Все, що неприємності для походження!) Зауважте, ви можете перевірити мою математику, навіть кращі з нас відмовляються від непарного знаку, і це довге питання. f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 Ця функція має вертикальну асимптоту при x = 2, тому що знаменник дорівнює нулю, коли x = 2. Вона наближається до 1 зверху, оскільки x переходить до + Докладніше »

Bb l (лямбда) = (39,81) + лямбда (8, 27) bb r (t) = (4t ^ 2 + 3, 3t ^ 3) bbr (3) = (39,81) bb r '(t ) = (8t, 9t ^ 2) Тобто дотичний вектор. bb r '(3) = (24, 81) Дотична лінія: bb l (лямбда) = bb r (3) + лямбда bb r' (3) = (39,81) + лямбда (24, 81) може трохи факторизувати вектор напрямку: bb l (лямбда) = (39,81) + лямбда (8, 27) Докладніше »

Ліміт становить 1/5. З урахуванням lim_ (xto0) sinx / (5x) Ми знаємо, що колір (блакитний) (lim_ (xto0) sinx / (x) = 1 Отже, ми можемо переписати наші дані як: lim_ (xto0) [sinx / (x) * 1 / 5] 1/5 * lim_ (xto0) [sinx / (x)] 1/5 * 1 1/5 Докладніше »

Int ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C Ми задані: l ln (xe ^ x) / (x) dx Використовуючи ln (ab) = ln (a) + ln (b): = int (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx Використовуючи ln (a ^ b) = bln (a): = int (ln (x) ) xln (e)) / (x) dx Використовуючи ln (e) = 1: = int (ln (x) + x) / (x) dx Розбиття дробу (x / x = 1): = t (ln (x) / x + 1) dx Відокремлюючи підсумкові інтеграли: = l ln (x) / xdx + int dx Другий інтеграл просто x + C, де C - довільна постійна. Перший інтеграл використовуємо u-підстановкою: Нехай u = еквівалент ln (x), отже du = 1 / x dx Використовуючи u-заміщення: = u udu + x + C Інтегруючи (довільна константа C Докладніше »

T = 0 і t = (- 3 + -sqrt (13)) / 2 Критичними точками функції є де похідна функції дорівнює нулю або не визначена. Почнемо з знаходження похідної. Ми можемо це зробити, використовуючи правило потужності: d / dt (t ^ n) = nt ^ (n-1) s '(t) = 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t Функція визначена для всіх дійсних чисел, тому ми не знайдемо жодних критичних точок таким чином, але ми можемо вирішити для нулів функції: 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t = 0 12t (t ^ 2 + 3t-1) = 0 Використовуючи принцип нульового фактора , бачимо, що t = 0 є рішенням. Ми можемо вирішити, коли квадратичний коефіцієнт дорівнює нулю за допомогою квадратичної формули: t = Докладніше »

-cosecx + C I = intcosx / sin ^ 2 xdx = int1 / sinx * cosx / sinxdx I = intcscx * cotxdx = -cscx + C Докладніше »

Послідовність має таку ж поведінку, що і n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n, коли n велика Ви повинні трохи маніпулювати виразом, щоб зробити це твердження чітким. Розділіть всі терміни на n ^ 5. n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) ). Всі ці межі існують при n-> oo, тому маємо: lim_ (n-> oo) n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) ) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) = 0 / (1 + 0) = 0, тому послідовність прагне до 0 Докладніше »

X in {-3/2, 3/2} Це питання насправді запитує, де дотичні лінії y = 1 / x (які можна вважати нахилом у точці дотику) паралельні y = -4 / 9x + 7. Оскільки дві лінії є паралельними, коли вони мають однаковий нахил, це еквівалентно запиту, де y = 1 / x має дотичні лінії з нахилом -4/9. Нахил лінії, дотичної до y = f (x) у (x_0, f (x_0)), задається f '(x_0). Разом з вищезазначеним, це означає, що наша мета - вирішити рівняння f '(x) = -4/9, де f (x) = 1 / x. Беручи похідну, маємо f '(x) = d / dx1 / x = -1 / x ^ 2 Рішення, -1 / x ^ 2 = -4/9 => x ^ 2 = 9/4:. x = + -3 / 2 Докладніше »

F '(x) = - sec ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) f (x) = sin (g (x)) f' (x) = g '(x) cos (g (x)) g (x) = cos (h (x)) g '(x) = - h' (x) sin (h (x)) h (x) = tan (x) h '(x) = sec ^ 2x g '(x) = - sec ^ 2xsin (tanx) g (x) = cos (tanx) f' (x) = - sec ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) Докладніше »

Колір (синій) ((1-3e ^ (- 3x)) / (x + 4 + e ^ (- 3x))) Якщо: y = ln (x) <=> e ^ y = x Використовуючи це визначення для Дана функція: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x) Диференціювання неявно: e ^ ydy / dx = 1 + 0-3e ^ (- 3x) Розділення на: колір (білий) (88) bb (e ^ y) dy / dx = (1-3e ^ (- 3x)) / e ^ y Згори: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x):. dy / dx = колір (синій) ((1-3e ^ (- 3x)) / (x + 4 + e ^ (- 3x))) Докладніше »

Готфрід Вільгельм Лейбніц був математиком і філософом. Багато хто з його внесків у світ математики були у формі філософії і логіки, але він набагато більш відомий для виявлення єдності між інтегралом і областю графа. Він був насамперед орієнтований на приведення розрахунку в одну систему і винайдення позначень, які однозначно визначали б числення. Він також відкрив такі поняття, як вищі похідні, і глибоко проаналізував правила продукту та ланцюга. Лейбніц в основному працював зі своєю власною вигаданою нотацією, наприклад: y = x для позначення функції, у цьому випадку f (x) є таким же, як y dy / dx для позначення похідної Докладніше »

Сер Ісак Ньютон був уже добре відомий своїми теоріями тяжіння і рухом планет. Його розробки в обчисленні повинні були знайти спосіб об'єднати математику і фізику руху планети і гравітації. Він також ввів поняття правила продукту, правила ланцюга, ряду Тейлора і похідних вище першої похідної. Ньютон в основному працював з функціональними позначеннями, такими як: f (x) для позначення функції f '(x) для позначення похідної функції F (x) для позначення антидеревативної функції Так, наприклад, виглядає правило продукту так: "Нехай" h (x) = f (x) g (x). "Тоді" h "(x) = f '(x) g (x) + f (x) g& Докладніше »

З точки зору реального життя, переривчастість еквівалентна переміщенню вгору по олівцю, якщо ви побудуєте графічну функцію. Дивіться нижче З цією ідеєю мається на увазі кілька типів розривів. Уникнення розриву Нескінченний розрив стрибка і кінцевий розрив стрибка Ви можете побачити ці типи на декількох інтернет-сторінках. наприклад, це кінцевий стрибок розриву. Математично, контрактність еквівалентна, щоб сказати, що: lim_ (xtox_0) f (x) існує і дорівнює f (x_0) Докладніше »

Функція має розрив, якщо вона не є чітко визначеною для певного значення (або значень); Є 3 типи розриву: нескінченність, точка і стрибок. Багато поширені функції мають один або кілька розривів. Наприклад, функція y = 1 / x не є чітко визначеною для x = 0, тому ми говоримо, що вона має розрив для цього значення x. Див. Графік нижче. Зауважимо, що крива не перетинається при x = 0. Іншими словами, функція y = 1 / x не має y-значення для x = 0. Аналогічно, періодична функція y = tanx має розриви при x = pi / 2, (3pi) / 2, (5pi) / 2 ... Нескінченні розриви відбуваються в раціональних функціях, коли знаменник дорівнює 0. y = ta Докладніше »

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C З знаменником вже сконцентрований, для констант потрібно вирішити все, що потрібно для часткових дробів: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) Зауважимо, що нам потрібно як x, так і постійний член на лівій більшій фракції, оскільки чисельник завжди на 1 ступінь нижче, ніж знаменник. Ми могли б розмножуватися знаменником лівої сторони, але це було б величезний обсяг роботи, тому ми можемо бути розумними і використовувати метод прикриття. Я не буду детально обговорювати проц Докладніше »

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Наша велика проблема в цьому інтегралі - корінь, тому ми хочемо її позбутися. Ми можемо зробити це шляхом введення заміни u = sqrt (2x-1). Похідна тоді (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Отже, ми ділимо через (і запам'ятовуємо, розділяючи на зворотне те ж саме, що множимо тільки на знаменник), щоб інтегруватися по відношенню до u: int t x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) скасування (sqrt (2x-1)) du = int t ^ 2-1 Тепер все, що нам потрібно зробити, це виразити x ^ 2 в термінах u (оскільки ви не можете ін Докладніше »

C = 2/3 Для того, щоб f (x) був безперервним при x = 2, повинно бути істинним: lim_ (x-> 2) f (x) існує. f (2) існує (це не є проблемою тут, оскільки f (x) чітко визначений при x = 2 Давайте дослідимо перший постулат. Ми знаємо, що для існування ліміту, ліва та права межі повинні бути однаковими. Математично: lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) Це також показує, чому нас цікавить тільки x = 2: це єдине значення x для що ця функція визначається як різні речі праворуч і ліворуч, що означає, що існує ймовірність, що ліві і праві межі не можуть бути рівними. Ми намагатимемося знайти значення 'c', д Докладніше »

А) f (4) = pi / 2; b) f (4) = 0 a) Диференціюють обидві сторони. Через Другу Фундаментальну Теорему Обчислення на лівій стороні і правилах продукту та ланцюга на правій стороні, ми бачимо, що диференціація показує, що: f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix) ) Якщо x = 2 показує, що f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 f (4) = pi / 2 b) Інтегруємо внутрішній термін. int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) [t ^ 3/3] _0 ^ f (x) = xsin (pix) Оцінити. (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3 = 3 xsin (pix) x = 4. (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) (f (4)) ^ 3 = 12 * 0 f (4) = Докладніше »

(C) Зазначивши, що функція f диференційована в точці x_0, якщо lim_ (h-> 0) (f (x_0 + h) -f (x_0)) / h = L, то дана інформація ефективно полягає в тому, що f диференціюється в 2 і що f '(2) = 5. Тепер, розглядаючи висловлювання: I: Правда диференційованість функції в точці має на увазі її безперервність у цій точці. II: Правда Дана інформація відповідає визначенню диференціації при x = 2. III: False Похідна функції не обов'язково є безперервною, класичним прикладом є g (x) = {(x ^ 2sin (1 / x), якщо x! = 0), (0, якщо x = 0):}, дифференцируема при 0, але її похідна має розрив при 0. Докладніше »

Y = -48x - 79 Рядок, дотичний до графіка y = f (x) в точці (x_0, f (x_0)), є лінією з нахилом f '(x_0) і проходить через (x_0, f (x_0)) . У цьому випадку нам дано (x_0, f (x_0)) = (-2, 17). Отже, нам потрібно лише обчислити f '(x_0) як нахил, а потім підключити його до рівняння точки-схилу лінії. Обчислюючи похідну f (x), отримаємо f '(x) = 8x ^ 3-8x => f' (- 2) = 8 (-2) ^ 3-8 (-2) = -64 + 16 = -48 Отже, дотична лінія має нахил -48 і проходить через (-2, 17). Отже, це рівняння y - 17 = -48 (x - (-2)) => y = -48x - 79 Докладніше »

F (x) = x Ми шукаємо функцію f: RR rarr RR такий, що рішення f (x) = f ^ (- 1) (x) Тобто ми шукаємо функцію, яка є її власною інверсною. Однією з очевидних таких функцій є тривіальне рішення: f (x) = x Проте, більш ретельний аналіз проблеми має велику складність, як досліджено Ng Wee Leng та Ho Foo Him, як опубліковано в журналі Асоціації викладачів математики. . http://www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf Докладніше »

3 / (4a) (x ^ 3 - a ^ 3) = (xa) (x ^ 2 + a x + a ^ 2) (x ^ 4 - a ^ 4) = (x ^ 2-a ^ 2) x ^ 2 + a ^ 2) = (xa) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2) => (x ^ 3-a ^ 3) / (x ^ 4-a ^ 4) = (( cancel (xa)) (x ^ 2 + a x + a ^ 2)) / ((скасувати (xa)) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2)) "Тепер заповніть x = a:" = (3 a ^ 2) / ((2 a) (2 a ^ 2)) = 3 / (4a) "Ми також могли б використовувати l 'Hôpital rule:" "Вихідний чисельник і знаменник дає:" "(3 x ^ 2) / (4 x ^ 3) = 3 / (4x) "Тепер заповніть x = a:" "= 3 / (4a) Докладніше »

Почнемо з диференціації, використовуючи правило продукту і правило ланцюга. Нехай y = u ^ (1/2) і u = x. y '= 1 / (2u ^ (1/2)) і u' = 1 y '= 1 / (2 (x) ^ (1/2)) Тепер за правилом продукту; f '(x) = 0 xx sqrt (x) + 1 / (2 (x) ^ (1/2)) xx 5/2 f' (x) = 5 / (4sqrt (x)) Швидкість зміни на будь-яка дана точка функції задається шляхом оцінки x = a у похідну. Питання говорить, що швидкість зміни при x = 3 вдвічі перевищує швидкість зміни при x = c. Наш перший порядок бізнесу - знайти швидкість зміни при x = 3. rc = 5 / (4sqrt (3)) Швидкість зміни при x = c - тоді 10 / (4sqrt (3)) = 5 / (2sqrt) (3)). 5 / (2sqrt Докладніше »

-1.11164 "Це інтеграл раціональної функції". "Стандартна процедура розщеплення в часткових частках." "По-перше, шукаємо нулі знаменника:" x ^ 3 - 5 x ^ 2 + 4 x = 0 => x (x - 1) (x - 4) = 0 => x = 0, 1, або 4 "Таким чином, ми розбиваємося на часткові частки:" (2x + 1) / (x ^ 3-5x ^ 2 + 4x) = A / x + B / (x-1) + C / (x-4) => 2x + 1 = A (x-1) (x-4) + B x (x-4) + C x (x-1) => A + B + C = 0, -5 A - 4 B - C = 2 , 4A = 1 => A = 1/4, B = -1, C = 3/4 "Так у нас є" (1/4) int {dx} / x - int {dx} / (x-1) + (3/4) int {dx} / (x-4) = (1/4) ln (| x |) - ln (| x-1 |) + (3/4) Докладніше »

Дотичні 25x-9y + 54 = 0 і y = x + 6 Нехай нахил дотичної дорівнює m. Рівняння дотичної тоді y-6 = mx або y = mx + 6 Тепер побачимо точку перетину цієї дотичної і заданої кривої y = (x + 2) / (x + 3). Для цього покладемо у = mx + 6, отримавши mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) або (mx + 6) (x + 3) = x + 2, тобто mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 або mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 Це має дати два значення x, тобто дві точки перетину, але тангенс скорочує криву тільки в одній точці. Отже, якщо y = mx + 6 дотична, то для квадратичного рівняння ми повинні мати лише один корінь, який можливий onli, якщо дискримінант дорівнює 0, тобто (3m + 5 Докладніше »

Він має критичні точки тільки для k> 0. По-перше, обчислимо першу похідну h (x). h ^ (просто) (x) = d / (dx) [e ^ (- x) + kx] = d / (dx) [e ^ (- x)] + d / (dx) [kx] = - e ^ (- x) + k Тепер, коли x_0 є критичною точкою h, вона повинна підкорятися умові h ^ (prime) (x_0) = 0, або: h ^ (prime) (x_0) = -e ^ ( -x_0) + k = 0 <=> e ^ (- x_0) = k <=> -x_0 = ln (k) <=> <=> x_0 = -ln (k) Тепер натуральний логарифм k є лише визначені для k> 0, так що h (x) має тільки критичні точки для значень k> 0. Докладніше »

Назвемо довжину N та S сторін x (ноги), а два інших будемо називати y (також у ногах). Тоді вартість огорожі буде: 2 * x * $ 10 для N + S та 2 * y * $ 15 для E + W Тоді рівняння для загальної вартості огорожі буде: 20x + 30y = 480 Ми відокремлюємо y: 30y = 480-20x-> y = 16-2 / 3 x Площа: A = x * y, замінюючи y у рівнянні, отримуємо: A = x * (16-2 / 3 x) = 16x-2/3 x ^ 2 Щоб знайти максимум, потрібно диференціювати цю функцію, а потім встановити похідну на 0 A '= 16-2 * 2 / 3x = 16-4 / 3 x = 0 Яка вирішується для x = 12 Підставляючи в більш раннє рівняння y = 16-2 / 3 x = 8 Відповідь: N і S сторони - 12 футів E та W с Докладніше »

Dy / dx = (3 sec ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) Правило ланцюга: (f @ g) '(x) = f' (g (x)) * g (x) Спочатку диференціюйте зовнішню функцію, залишивши всередині себе, а потім помножте на похідну внутрішньої функції. y = tan sqrt (3x-1) dy / dx = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx sqrt (3x-1) = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx (3x-1) ) ^ (1/2) = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * 1/2 (3x-1) ^ (- 1/2) * d / dx (3x-1) = sec ^ 2 sqrt (3x- 1) * 1 / (2 sqrt (3x-1)) * 3 = (3 сек ^ 2 квт (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) Докладніше »

1 f (n) = n ^ (1 / n) має на увазі log (f (n)) = 1 / n log n Тепер lim_ {n -> oo} log (f (n)) = lim_ {n -> oo} log n / n qquadqquadqquad = lim_ {n -> oo} {d / (dn) log n} / {d / (dn) n} = lim_ {n-> oo} (1 / n) / 1 = 0 З журналу x є безперервною функцією, ми маємо log (lim_ {n до oo} f (n)) = lim_ {n до oo} log (f (n)) = 0 має на увазі lim_ {n до oo} f (n) = e ^ 0 = 1 Докладніше »

Lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 ми шукаємо: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) ) Коли ми оцінюємо межу, розглянемо поведінку функції "поблизу" точки, не обов'язково поведінку функції "у" точки, про яку йде мова, таким чином, як x rarr 0, ні в якому разі не треба враховувати, що відбувається при x = 0, таким чином ми отримуємо тривіальний результат: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = lim_ (x rarr 0) 1. = 1 Для наочності графік функції для візуалізації поведінки навколо x = 0 графа {sin (1 / x) / sin (1 / x) [-10, 10, -5, 5]} Слід чітко вказати, що функція y Докладніше »

Ліміту не існує. Як x наближається до 1, аргумент, pi / (x-1) приймає значення pi / 2 + 2pik і (3pi) / 2 + 2pik нескінченно часто. Тому гріх (pi / (x-1)) приймає значення -1 і 1, нескінченно багато разів. Значення не може наближатися до одного обмежувального числа. graph {sin (pi / (x-1)) [-1.796, 8.07, -1.994, 2.94]} Докладніше »

"Див. Пояснення" "Застосувати визначення | x |:" f (x) = | x | => {(f (x) = x, x> = 0), (f (x) = -x, x <= 0):} "Тепер виведемо:" {(f '(x) = 1, x> = 0), (f '(x) = -1, x <= 0):} "Таким чином, ми бачимо розрив у x = 0 для f' (x)." "Для інших це всюди дифференцируемо". Докладніше »

Телескопічна серія 1 Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n )) Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) )) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) Це колапсує (телескопічна) серія. Його перший член - -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2. Докладніше »

Другий похідний тест передбачає, що критичне число (точка) x = 4/7 дає локальний мінімум для f, не кажучи вже про природу f при критичних числах (точках) x = 0,1. Якщо f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3, то правило продукту говорить f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) x означає, що f має критичні числа (точки) при x = 0,4 / 7,1. Використання правила продукту знову дає: f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 = x ^ 2 * (x -1) * ((3x-3 + 2x) * (7x Докладніше »

Sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n + 1)) Нехай: S = x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n-1)) Якщо незрозуміло, що ефект буде найкращим розширити кілька термінів підсумовування: S = x ^ 2 {0a_0x ^ (- 1) + 1a_1x ^ 0 + 2a_2x ^ 1 + 3a_3x ^ 2 + 4a_4x ^ 3 + ...} t ) + 1a_1x ^ 2 + 2a_2x ^ 3 + 3a_3x ^ 4 + 4a_4x ^ 5 + ...} Тоді ми можемо повернути його назад у позначення "сигма": S = sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ ( n + 1)) Докладніше »

V = 8pi одиниць гучності По суті проблема у вас є: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx Пам'ятайте, обсяг твердого тіла задається: V = piint (f (x)) ^ 2 dx Таким чином, наш оригінальний Intergral відповідає: V = piint_0 ^ 4 (x) dx, що в свою чергу дорівнює: V = pi [x ^ 2 / (2)] між x = 0, як наша нижня межа, і x = 4 як наша верхня межа. Використовуючи фундаментальну теорему обчислення, ми підставляємо наші межі до нашого інтегрованого виразу, оскільки віднімаємо нижню межу від верхньої межі. V = pi [16 / 2-0] V = одиниць об'єму 8pi Докладніше »

Обмеження дозволяє досліджувати тенденцію функції навколо заданої точки, навіть якщо функція не визначена в точці. Давайте подивимося на функцію нижче. f (x) = {x ^ 2-1} / {x-1} Оскільки його знаменник дорівнює нулю, коли x = 1, f (1) не визначено; однак її межа при x = 1 існує і вказує, що значення функції наближається до 2. lim_ {x до 1} {x ^ 2-1} / {x-1} = lim_ {x до 1} {(x + 1) (x-1)} / {x-1} = lim_ {x до 1 } (x + 1) = 2 Цей інструмент є дуже корисним при обчисленні, коли нахил дотичної лінії апроксимується нахилами січних ліній з близькими точками перетину, що мотивує визначення похідної. Докладніше »

Колір (синій) (- (2y ^ (5/2)) / (1 + 4xy ^ (3/2))) Нам потрібно диференціювати це неявно, тому що ми не маємо функції в термінах однієї змінної. Коли ми диференціюємо y, використовуємо правило ланцюга: d / dy * dy / dx = d / dx Як приклад, якщо ми мали: y ^ 2 Це було б: d / dy (y ^ 2) * dy / dx = 2ydy / dx У цьому прикладі нам також потрібно використовувати правило продукту на термін xy ^ 2 Запис sqrt (y) як y ^ (1/2) y ^ (1/2) + xy ^ 2 = 5 Диференціювання: 1 / 2y ^ (-1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx + y ^ 2 = 0 1 / 2y ^ (- 1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx = -y ^ 2 / dx: dy / dx (1 / 2y ^ (- 1/2) + 2xy) = - y ^ 2 Розділити на Докладніше »

V = 685 / 32pi кубічних одиниць По-перше, малювати графіки. y_1 = x ^ 2-x y_2 = 3-x ^ 2 x-перехоплення y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 І ми маємо, що {(x = 0), (x = 1):} Отже, перехоплення (0,0) і (1,0) Отримати вершину: y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 Так вершина знаходиться на (1/2, -1 / 4) Повторіть попереднє: y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 І ми маємо, що {(x = sqrt (3)) ), (x = -sqrt (3)):} Так перехоплює (sqrt (3), 0) і (-sqrt (3), 0) y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 Отже, вершина має значення (0,3) Результат: Як отримати обсяг? Ми будемо використовувати метод диска! Цей метод прос Докладніше »

124.5 int_1 ^ 4 (2x ^ 3-2x + 4) dx = [((2x ^ 4) / 4) - ((2x ^ 2) / 2) + 4x] З верхньою межею x = 4 і нижньою межею x = 1 Застосовуйте свої обмеження в інтегрованому вираженні, тобто віднімайте нижню межу від верхньої межі. = (128-16-16) - ((1/2) -1 + 4) = 128-3 (1/2) = 124,5 Докладніше »

Точкою згинання є: ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) "AND" ((-pi / 2 + 2kpi, 0)) 1 - Спочатку треба знайти другу похідну нашої функції. 2 - По-друге, прирівнюємо цю похідну ((d ^ 2y) / (dx ^ 2)) до нуля y = sinx + cosx => (dy) / (dx) = cosx-sinx => (d ^ 2y) / ( dx ^ 2) = - sinx-cosx Далі, -sinx-cosx = 0 => sinx + cosx = 0 Тепер, висловимо це у вигляді Rcos (x + lamda) де lambda - це лише гострий кут, а R - позитивне ціле число для визначення. Як цей sinx + cosx = Rcos (x + lambda) => sinx + cosx = Rcosxcoslamda - sinxsinlamda Прирівнюючи коефіцієнти sinx і cosx на будь-якій стороні рівняння, => Rcoslamda = 1 і Докладніше »

Int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c Для цієї проблеми має сенс 4-9x ^ 2> = 0, тому -2/3 <= x <= 2/3. Тому ми можемо вибирати 0 <= u <= pi таку, що x = 2 / 3cosu. Використовуючи це, ми можемо замінити змінну x на інтеграл за допомогою dx = -2 / 3sinudu: int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u) )) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu тут ми використовуємо, що 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u і що для 0 <= u <= pi sinu> = 0. Тепер ми використовуємо інтеграцію по частинах, щоб знайти intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu Докладніше »

Потрібно спочатку маніпулювати виразом, щоб поставити його в більш зручній формі Давайте працювати над виразом (1 / (h + 2) ^ 2 -1/4) / h = ((4- (h + 2) ^ 2) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = ((4- (h ^ 2 + 4h + 4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (((4-ч ^ 2-4h-4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (- h ^ 2-4h) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (h (-h-) 4)) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (-h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) Взявши тепер межі, коли h-> 0 маємо: lim_ (h-> 0) ) (- h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) = (-4) / 16 = -1 / 4 Докладніше »

1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) +1) / (tanx-sqrt (2tanx) + 1) | + C Почнемо з u-заміщення з u = sqrt (tanx) Похідна від u: (du) / dx = (sec ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)), тому ми ділимо на що для інтеграції по відношенню до u (і пам'ятайте, поділ на частку те ж саме, що множення на його взаємне): int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx) Так як ми не можемо інтегрувати x's по відношенню до u, ми використовуємо наступну ідентичність: sec ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1 Це дає: int t 2 / (tan ^ 2x + 1) du = int 2 / (1 + u ^ 4) du = 2int 1 / (1 + u ^ 4 Докладніше »

Найпростішим способом думати про подвійний інтеграл є об'єм під поверхнею в 3-мірному просторі. Це аналогічно думці про нормальний інтеграл як про область під кривою. Якщо z = f (x, y), то int_y int_x (z) dx dy буде об'єм під тими точками, z, для доменів, заданих y та x. Докладніше »

- (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 sqrt ((x + 1) / (2x-1)) f (x) = u ^ n f '(x) = n xx ( du) / dx xxu ^ (n-1) У цьому випадку: sqrt ((x + 1) / (2x-1)) = ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2): n = 1/2, u = (x + 1) / (2x-1) d / dx = 1/2 xx (1xx (2x-1) - 2xx (x + 1)) / (2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1 / 2-1) = 1 / 2хх (-3) / ((2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x- 1)) ^ (1 / 2-1) = - (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2) Докладніше »

Перший крок полягає в тому, щоб переписати функцію як раціональний показник f (x) = sin (x) ^ {1/2} Після того, як ви отримаєте своє вираження у цій формі, ви можете диференціювати її за допомогою правила ланцюга: у вашому випадку: u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) Тоді, 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x), який є вашим відповідь Докладніше »

(dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) Я вважаю, що ви хочете знайти (dy) / (dx). Для цього спочатку буде потрібно вираз для y в термінах x. Зазначимо, що ця задача має різні рішення, оскільки tan (x) є періодичними функціями, tan (x-y) = x буде мати множинні рішення. Однак, оскільки ми знаємо період дотичної функції (pi), можна виконати наступне: xy = tan ^ (- 1) x + npi, де tan ^ (- 1) - обернена функція дотичних значень, що дають між -pi / 2 і pi / 2 і коефіцієнт npi був доданий для обліку періодичності дотичної. Це дає нам y = x-tan ^ (- 1) x-npi, тому (dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x, зауважимо, що фактор npi зник. Т Докладніше »

Y = -2x + pi / 2 Щоб знайти рівняння дотичної лінії до кривої y = cos (2x) при x = pi / 4, почніть з похідної y (використовуйте правило ланцюга). y '= - 2sin (2x) Тепер підключіть значення x до y': -2sin (2 * pi / 4) = - 2 Це нахил дотичної лінії при x = pi / 4. Щоб знайти рівняння дотичної лінії, нам потрібно значення y. Просто вставте значення x у вихідне рівняння для y. y = cos (2 * pi / 4) y = 0 Тепер використовуйте форму нахилу точок, щоб знайти рівняння дотичної лінії: y-y_0 = m (x-x_0) Де y_0 = 0, m = -2 і x_0 = pi / 4. Це дає нам: y = -2 (x-pi / 4) Спрощення, y = -2x + pi / 2 Сподіваюся, що це допоможе! гра Докладніше »

Певний інтеграл над інтервалом [a, b] з f спочатку визначається для функції f, що включає в себе [a, b] у своїй області. Тобто: ми починаємо з функції f, яка визначена для всіх x в [a, b] Неправильні інтеграли розширюють початкове визначення, дозволяючи a, або b, або обидва бути поза домену f (але на 'edge'). щоб ми могли шукати межі) або для інтервалу не вистачає лівої та / або правої кінцевих точок (нескінченні інтервали). Приклади: int_0 ^ 1 lnx dx колір (білий) "sssssssssss" інтегранд не визначено в 0 int_5 ^ 7 1 / (x ^ 2-25) dx колір (білий) "ssssss" інтегранд не визначено в 5 int_1 ^ oo 1 Докладніше »

(dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2) Я маю на увазі http://socratic.org/questions/how-do-you-find-the-derivative-of-tan-xyx -1? AnswerSuccess = 1, де ми виявили, що задано x = tan (xu); (du) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) (для зручності я замінив y на u). Це означає, що якщо замінити u на -y, то знайдемо, що для x = tan (x + y); - (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2), тому (dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2). Докладніше »

(root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3ln (abs (root3x-1)) + C Ми маємо int root3x / (root3x-1) dx Замінити u = (root3x-1) (du) / (dx) = x ^ (- 2/3) / 3 dx = 3x ^ (2/3) du int root3x / (root3x-1) (3x ^ (2 / 3)) du = int (3x) / (root3x-1) du = int (3 (u + 1) ^ 3) / udu = 3int (u ^ 3 + 3u ^ 2 + 3u + 1) / udu = int3u ^ 2 + 9u + 9 + 3 / udu = u ^ 3 + (9u ^ 2) / 2 + 9u + 3ln (abs (u)) + C Повторне заміщення u = root3x-1: (root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3ln (abs (root3x-1)) + C Докладніше »

Dy / dx = csin (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + csin ^ c (x) cos (cx) = csin (x) ^ (c-1) sin (cx + x) Для заданої функції y = f (x) = uv де u та v обидві функції x отримуємо: dy / dx = u'v + v'u u = sin (cx) u '= c cos (cx) v = sin ^ c (x) v '= c cos (x) sin ^ (c-1) (x) dy / dx = csin (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + csin ^ c (x) cos (cx) = csin (x) ^ (c-1) sin (cx + x) Докладніше »

Коли cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) = 0, ми отримали f (x, y) = sin (x) cos (y) + e ^ xtan ( y) Критичні точки виникають, коли (delf (x, y)) / (delx) = 0 і (delf (x, y)) / (dely) = 0 (delf (x, y)) / (delx) = cos ( x) cos (y) + e ^ xtan (y) (delf (x, y)) / (dely) = - sin (x) sin (y) + e ^ xsec ^ 2 (y) sin (y) sin ( x) + cos (y) cos (x) + e ^ xtan (y) -e ^ xsec ^ 2 (y) = cos (xy) + e ^ x (tan (y) -sec ^ 2 (y)) = cos (xy) + e ^ x (tan (y) - (1 + tan ^ 2 (y))) = cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) Не існує реального способу знайти рішення, але критичні точки виникають, коли cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) Докладніше »

F (x) = lnx + 1 Розбиваємо нерівність на 2 частини: f (x) -1> = lnx -> (1) f (x / e) <= lnx-> (2) Давайте розглянемо (1) : Переставляємо, щоб отримати f (x)> = lnx + 1. Давайте розглянемо (2): Ми припускаємо, що y = x / e і x = ye. Ми досі задовольняємо умову y в (0, + oo) .f (x / e) <= lnx f (y) <= lny f (y) <= lny + lne f (y) <= lny + 1 y inx так f (y) = f (x). З 2 результатів f (x) = lnx + 1 Докладніше »

Правило потужності: якщо f (x) = x ^ n, то f '(x) = nx ^ (n-1) Правило суми: якщо f (x) = g (x) + h (x), то f' (x) = g '(x) + h' (x) Правило продукту: якщо f (x) = g (x) h (x), то f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) Часткове правило: якщо f (x) = g (x) / (h (x)), то f' (x) = (g '(x) h (x) - g (x) h' ( x)) / (h (x)) ^ 2 Правило ланцюга: якщо f (x) = h (g (x)), то f '(x) = h' (g (x)) g '(x) Або: dy / dx = dy / (du) * (du) / dx Додаткова інформація: http://socratic.org/calculus/basic-differentiation-rules/summary-of-differentiation-rules Докладніше »

E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4. Випадок розширення ряду Тейлора близько 0 називається серією Маклорена. Загальною формулою для серії Маклоріна є: f (x) = sum_ (n = 0) ^ o (0) / (n!) X ^ n Щоб розробити серію для нашої функції, можна почати з функції для e ^ x, а потім використовуйте це, щоб з'ясувати формулу для e ^ (- 2x). Для того, щоб побудувати ряд Маклорена, необхідно з'ясувати n-ту похідну e ^ x. Якщо взяти декілька похідних, то можна досить швидко побачити закономірність: f (x) = e ^ x f '(x) = e ^ x f' '(x) = e ^ x Насправді, n-я похі Докладніше »

Вантажопідйомність виду - це максимальна популяція цього виду, яку довкілля може витримати довкілля, враховуючи наявні ресурси. Він виступає як верхня межа функцій зростання населення. На графіку, припускаючи, що функція зростання населення зображена з незалежною змінною (зазвичай t у випадках зростання населення) на горизонтальній осі, і залежній змінної (популяції, у цьому випадку f (x)) на вертикальній осі , вантажопідйомність буде горизонтальною асимптотою. У нормальному ході подій, якщо не буде екстремальних обставин, населення не перевищить пропускну здатність. Проте, деякі екстремальні обставини (наприклад, раптовий Докладніше »

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Спочатку підставимо: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du друга заміна: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2) -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Split з використанням часткових часток: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Тепер маємо: -1 / (2 (v Докладніше »

У підручнику я використовую (Stewart Calculus) критичну точку f = критичне число для f = значення x (незалежної змінної), що дорівнює 1) в області f, де f 'або 0, або не існує. (Значення x, які відповідають умовам теореми Ферма.) Точка перегину для f - точка на графіку (має як x, так і y координати), при яких змінюється увігнутість. (Інші люди, здається, використовують іншу термінологію. Я не знаю, що вони їли помилково або просто мають іншу термінологію. Але підручники, які я використовував у США з початку 80-х років, використовували це визначення.) Докладніше »