Які локальні екстремуми f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13?

Відповідь:

Локальний максимум # 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 #

Локальний мінімум - # 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 #

Пояснення:

Щоб знайти локальні екстремуми, можна скористатися першим похідним тестом. Ми знаємо, що при локальних екстремумах, принаймні, перша похідна функції буде дорівнює нулю. Отже, візьмемо першу похідну, встановимо її рівною 0 і вирішимо для x.

#f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13 #

#f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 #

# 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 #

Цю рівність можна легко вирішити за допомогою квадратичної формули. У нашому випадку, #a = -3 #, #b = 6 # і # c = 10 #

Квадратична формула говорить:

#x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

Якщо ми повернемо наші значення в квадратичну формулу, то отримаємо

#x = (-6 + - sqrt (156)) / - 6 = 1 + - sqrt (156) / 6 = 1 + - sqrt (13/3) #

Тепер, коли ми маємо значення x, де знаходяться локальні екстремуми, давайте підключимо їх до нашого початкового рівняння, щоб отримати:

#f (1 + sqrt (13/3)) = 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 # і

#f (1 - sqrt (13/3)) = 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 #