Відповідь:
# x ^ 3-3x + 6 # має місцеві екстремуми на # x = -1 # і # x = 1 #
Пояснення:
Локальні екстремуми функції відбуваються в точках, де знаходиться перша похідна функції #0# і ознака перших похідних змін.
Тобто, для # x # де #f '(x) = 0 # і також #f '(x-varepsilon) <= 0 і f' (x + varepsilon)> = 0 # (місцевий мінімум) або
#f '(x-varepsilon)> = 0 і f' (x + varepsilon) <= 0 # (місцевий максимум)
Щоб знайти локальні екстремуми, потрібно знайти точки, де #f '(x) = 0 #.
#f '(x) = 3x ^ 2 - 3 = 3 (x ^ 2 - 1) = 3 (x + 1) (x-1) #
тому
#f '(x) = 0 <=> 3 (x + 1) (x-1) = 0 <=> x = + - 1 #
Дивлячись на знак # f '# ми отримуємо
# {(f '(x)> 0, якщо x <-1), (f' (x) <0, якщо -1 <x <1), (f '(x)> 0, якщо x> 1):} #
Отже, знак # f '# зміни на кожному з #x = -1 # і #x = 1 # мається на увазі місцевий екстремум в обох точках.
Примітка: Зміни в знаках, ми можемо далі сказати, що є локальний максимум на #x = -1 # і місцевий мінімум у #x = 1 #.
