Які локальні екстремуми, якщо такі є, f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Відповідь:

Параболи мають рівно один екстремум, вершину.

це є #(-4 1/2, -19 1/4)#.

З # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # всюди функція скрізь увігнута, і ця точка повинна бути мінімальною.

Пояснення:

Ви маєте два корені для пошуку вершини параболи: одна, використовуйте обчислення, щоб знайти, що похідна дорівнює нулю; два, уникайте числення будь-якою ціною і просто завершіть площу. Ми будемо використовувати обчислення для практики.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, ми повинні взяти похідну від цього.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

За лінійністю похідної ми маємо

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Використовуючи правило потужності, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # ми маємо

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9.

Встановлюємо це рівним нулю, щоб знайти критичні точки, локальні та глобальні мінімуми та максимуми, а іноді точки перегину мають похідні нуля.

# 0 = 2x + 9 # #=># # x = -9 / 2 #,

тому ми маємо одну критичну точку # x = -9 / 2 # або #-4 1/2#.

Щоб знайти координату y критичної точки, яку ми підпорядковуємо # x = -9 / 2 # назад у функцію, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Критична точка / вершина #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Ми знаємо це тому #a> 0 #, це максимум.

Щоб формально знайти, якщо це максимуми або мінімуми, нам потрібно виконати другий тест похідної.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

Друга похідна 2 при всіх значеннях x. Це означає, що він більше, ніж нуль, і функція увігнута всюди (це парабола з #a> 0 # все-таки), тому екстремуми повинні бути мінімальними, вершиною.