Які локальні екстремуми f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5)?

Відповідь:

#f (x) # має локальний максимум на #approx (0.1032, 15.0510) #

#f (x) # має місцевий мінімум на #approx (3.2301, -0.2362) #

Пояснення:

#f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) #

Застосувати правило продукту.

#f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5) #

Застосувати правило потужності.

#f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) #

# = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 #

# = 3x ^ 2-10x + 1 #

Для локальних екстремумів #f '(x) = 0 #

Отже, # 3x ^ 2-10x + 1 = 0 #

Застосувати квадратичну формулу.

# x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1) / (2 * 3) #

# = (10 + -sqrt (88)) / 6 #

# близько 3.2301 або 0.1032 #

#f '' (x) = 6x-10 #

Для локального максимуму #f '' <0 # в крайній точці.

Для місцевого мінімуму #f ''> 0 # в крайній точці.

Тестування #f '' (3.2301)> 0 -> f (3.2301) = f_min #

Тестування #f '' (0.1032) <0 -> f (0.1032) = f_max #

Отже, #f_max прибл. (0.1032-3) (0.1032 ^ 2-2 * 0.1032-5) #

#approx 15.0510 #

І, #f_min приблизно (3.2301-3) (3.2301 ^ 2-2 * 3.2301-5) #

#approx -0.2362 #

#:. f (x) # має локальний максимум на #approx (0.1032, 15.0510) #

#and f (x) # має місцевий мінімум на #approx (3.2301, -0.2362) #

Ми бачимо ці локальні екстремуми, збільшуючи їх до відповідних точок на графіку #f (x) # нижче.

графік {(x-3) (x ^ 2-2x-5) -29.02, 28.72, -6.2, 22.63}