Використовувати перший принцип для диференціації? y = sqrt (sinx)

Відповідь:

Перший крок полягає в тому, щоб переписати функцію як раціональний показник #f (x) = sin (x) ^ {1/2} #

Пояснення:

Після того, як ви отримаєте своє вираження в цій формі, ви можете диференціювати її за допомогою правила ланцюжка:

У вашому випадку: # u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) #

Потім, # 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x) # це ваша відповідь

Відповідь:

# d / dx sqrt (sinx) = cosx / (2sqrt (sinx)) #

Пояснення:

Використовуючи граничне визначення похідної, маємо:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (f (x + h) -f (x)) / (h) #

Отже, для даної функції, де #f (x) = sqrt (sinx) #, ми маємо:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) #

= lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) * (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

= lim_ (h rarr 0) (sin (x + h) -sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

Тоді ми можемо використовувати тригонометричну ідентичність:

# sin (A + B) - = sinAcosB + cosAsinB #

Надання нам:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sinxcos h + кокссин h-sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

= lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1) + cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

= lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) + (cosxsin h)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

= lim_ (h rarr 0) (cos h-1) / h (sinx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) + (sin h) / h (cosx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

Потім ми використовуємо два дуже стандартні межі обчислення:

# lim_ (тета -> 0) sintheta / theta = 1 #, і #lim_ (тета -> 0) (costheta-1) / theta = 0 #, та #

І зараз ми можемо оцінити межі:

# f '(x) = 0 xx (sinx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) + 1 xx (cosx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) #

= (cosx) / (2sqrt (sin (x)) # t